Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó \(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Theo giả thiết ta có } a+c=2 b \text { , hay }\\ &\sin A+\sin C=2 \sin B \Leftrightarrow 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}=2.2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}\\ &\text { Vì } \sin \frac{A+C}{2}=\cos \frac{B}{2} \neq 0 \text { , nên từ }(1) \text { ta có }\\ &\begin{aligned} & \cos \left(\frac{A}{2}-\frac{C}{2}\right)=2 \cos \left(\frac{A}{2}+\frac{C}{2}\right) \\ \Rightarrow & \cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2}+\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}=2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2}-2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \Rightarrow & 3 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}=\cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} \\ \Rightarrow & \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{3} . \end{aligned} \end{aligned}\)