\(\text { Cho } \triangle A B C \text { có } \sin ^{2} A+\sin ^{2} B=\sqrt[2017]{\sin C} \text { và các góc A, B nhọn. }\) Tam giác ABC là tam giác gì?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \sin C \in[0,1] \Rightarrow \sqrt[2017]{\sin C}=\sin ^{2017} C \geq \sin ^{2} C \Rightarrow \sin ^{2} A+\sin ^{2} B \geq \sin ^{2} C\\ &\Leftrightarrow 4 R^{2}\left[\sin ^{2} A+\sin ^{2} B\right] \geq 4 R^{2} \sin ^{2} C \Leftrightarrow a^{2}+b^{2} \geq c^{2} \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-c^{2} \geq 0\\ &\text { Theo định lí hàm số } \operatorname{cosin} \text { ta có: } \cos C=\frac{a^{2}+b^{\overline{2}}-c^{2}}{2 a b} \geq 0 \text { . } \end{aligned}\)
Ta thấy
\(\begin{aligned} \sin ^{2} A+\sin ^{2} B &=\frac{1-\cos 2 A}{2}+\frac{1-\cos 2 B}{2} \\ &=1-\frac{\cos 2 A+\cos 2 B}{2} \\ &=1-\cos (A+B) \cos (A-B) \\ &=1+\cos C \cos (A-B) \geq 1 . \end{aligned}\)
\(\text { Mặt khác: } \sqrt[2017]{\sin C} \leq \sqrt[2017]{1}=1 \text { . }\)
\(\text { Do đó: } \sin ^{2} A+\sin ^{2} B=\sqrt[2011]{\sin C} \text { khi }\left\{\begin{array}{l} \cos C \cos (A-B)=0 \\ \sin C=1 \end{array} \Leftrightarrow C=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \triangle A B C\right. \text { vuông. }\)
