Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 1,\,\,BC = 2\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }.\) Tích vô hướng \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\)
.png)
Áp dụng định lý cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}\\ \Rightarrow \,\,A{C^2} = 1 + 4 - 2.1.2.\cos {60^ \circ } = 3\\ \Rightarrow \,\,AC = \sqrt 3 \end{array}\)
Áp dụng định lý sin, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{1}{{\sin \overrightarrow {ACB} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin {{60}^ \circ }}}\\ \Leftrightarrow \,\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{\sin {{60}^ \circ }}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \,\,\widehat {ACB} = {30^ \circ }\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {ACD} = {180^ \circ } - {30^ \circ } = {150^ \circ }\end{array}\)
Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {CA} = CD.CA.\cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 2.2.\cos {150^ \circ } = - 3\)
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
\(\text { Cho tam giác } A B C \text { có } A B=2 \mathrm{~cm}, B C=3 \mathrm{~cm}, C A=5 \mathrm{~cm} \text {. Tính } \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B} \text {. }\)
-
\(\text{Cho hai vec tơ }\overrightarrow a = \left( {2m;3} \right);\overrightarrow b = \left( {2;5} \right).\text{ Tìm giá trị của m để }\vec a \bot \vec b.\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C=7; \cdot C A=8. \text{ Tính độ dài trung tuyến BD.}\)
-
Đơn giản biểu thức \(A=\sin \left(90^{\circ}-x\right)+\cos \left(180^{\circ}-x\right)+\sin ^{2} x\left(1+\tan ^{2} x\right)-\tan ^{2} x\) ta được:
-
\(\text { Cho hai góc } \alpha \text { và } \beta \text { với } \alpha+\beta=90^{\circ} . \text { Tính giá trị của biểu thức } P=\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha \text {. }\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=9 ; B C= 5; C A=6. \text{ Tính số đo của } \hat{C}\)
-
Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện nào sau đây để trở thành tam giác vuông.
-
Tam giác ABC có \(A B=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}, B C=\sqrt{3}, C A=\sqrt{2}\) . Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Khi đó góc \(\widehat {ADB}\) bằng bao nhiêu độ?
-
Tam giác thỏa điều kiện \(\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{2 a+c}{\sqrt{4 a^{2}-c^{2}}}\) là tam giác gì?
-
Tam giác ABC có \(A B=6 \mathrm{cm}, A C=8 \mathrm{cm} \text { và } B C=10 \mathrm{cm}\) . Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng:
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=8. \text{ Tính độ dài trung tuyến AM.}\)
-
Cho tam giác ABC. Giá trị của biểu thức \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \) bằng:
-
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc \(50^{0}\) và \(40^{0}\) so với phương nằm ngang. Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \(\vec{a}=(-2 ; 3) \text { và } \vec{b}=(4 ; 1)\). Tìm \(\vec d\) biết \(\vec{a} \cdot \vec{d}=4 \text { và } \vec{b} \cdot \vec{d}=-2\)
-
\(\text { Cho } \cos \alpha=-\frac{1}{3} \text { . Tính } \cot \alpha \text { biết } 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ} \text { . }\)
-
Tam giác nhọn ABC có \(A C=b, B C=a, B B^{\prime}\) là đường cao kẻ từ B và \(C B B^{\prime}=\alpha\) . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo a b , và \(\alpha\) là:
-
Tính góc B của tam giác ABC biết: \(a = 14,b = 18,c = 20\).
-
Cho tam giác \(ABC\) biết \(a = 7cm,b = 23cm,\widehat C = {130^0}\). Tính cạnh c.
-
Tam giác ABC vuông tại A và có \(AB = AC = a\). Tính: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
-
Hình bình hành ABCD có \(A B=a, B C=a \sqrt{2} \text { và } B A D=45^{\circ}\) . Khi đó hình bình hành có diện tích bằng:
