\(\text { Cho } 6 \cos ^{2} \alpha+\cos \alpha-2=0 . \text { Biết } A=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha}{2 \cos \alpha-1}=a+b \tan \alpha \text { với } a, b \in \mathbb{Q} \text { . }\)

Tính giá trị của biểu thức a+b

Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh \(A B=9 \text { và } \overrightarrow{A C B}=60\) . Tính độ dài cạnh cạnh BC .

Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 4\)và \(AC = 6\). Tính độ dài cạnh BC.

Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3;AD = 4. Gọi M là điểm thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{A M}=k \overrightarrow{A B}\). Tìm k để AC vuông góc với DM 

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}\)

\(\text { Cho hình bình hành } A B C D \text { có } A B=a, A D=2 a \text { và } \widehat{D A B}=60^{\circ} \text { . }\)\(\text { Tính } \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}\)

\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {m;2} \right);\overrightarrow b =\left( {3; - 7} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)

\(\text{Tam giác ABC có }A B=13: B C= 15 ; C A=24. \text{ Tính độ dài đường cao BD?}\)

Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đẳng AB trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc \(\widehat {BPA} = {35^o}\)và \(\widehat {BQA} = {48^o}\). Tính chiều cao của tháp.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm \(A(3 ;-1), B(2 ; 10), C(4 ;-2)\) Tích vô hướng \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\) bằng bao nhiêu?

Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1 (m), người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Tam giác ABC vuông tại A và có \(AB = AC = a\). Tính: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Cho \(\cos \alpha  =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\). Tính \(\tan \alpha \).

Phân tử sulfur dioxide (SO₂) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết \(\widehat {OSO}\) gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ \(\overrightarrow {{\mu _1}} \) và \(\overrightarrow {{\mu _2}} \) có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng\(\vec \mu = \overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}} \) được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của \(\vec \mu \).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm \(A(-4 ; 0), B(-5 ; 0) \text { và } C(3 ; 0)\). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho \(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}\)

Tính: \(D = ( - \tan {135^0}).tan{60^0}\).

Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt \(\vec{a}=\overrightarrow{A B}, \vec{b}=\overrightarrow{A D} .\). Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau

\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {2; - 5} \right);\overrightarrow b =\left( {7;7m} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)

Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP . Góc nào sau đây bằng 120^o ?