Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A′,B′,C′ lần lượt là hình chiếu của G trên các cạnh BC,CA,AB của tam giác. Hãy tính diện tích của tam giác A′B′C′ biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng S và khoảng cách từ G đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng dd, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
\(\begin{array}{l} {S_{A'B'C'}} = {S_{GA'B'}} + {S_{GB'C'}} + {S_{GC'A'}};\\ {S_{GA'B'}} = \frac{1}{2}.GA'.GB'.\sin ({180^0} - \hat C) = \frac{1}{{18}}{h_a}{h_b}\sin C \end{array}\)
Trong tam giác ABC, \( {h_a} = \frac{{2S}}{a},{h_b} = \frac{{2S}}{b},\sin C = \frac{c}{{2R}}\)
Từ đó ta có
\( {S_{GA'B'}} = \frac{{{S^2}.c}}{{9ab.R}} = \frac{{{S^2}.{c^2}}}{{9abc.R}}\)
Tương tự,
\( {S_{GB'C'}} = \frac{{{S^2}{a^2}}}{{9abc.R}};{S_{GC'A'}} = \frac{{{S^2}{b^2}}}{{9abc.R}}\)
Suy ra
\( {S_{A'B'C'}} = \frac{{{S^2}}}{{9abc.R}}({a^2} + {b^2} + {c^2}).\)
Ta lại có \( S = \frac{{abc}}{{4R}};{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9({R^2} - {d^2})\) nên
\( {S_{A'B'C'}} = \frac{{{R^2} - {d^2}}}{{4{R^2}}}.S\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác ABC. Gọi ra là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A. Diện tích tam giác ABC:
-
Tam giác ABC có \(\widehat A = {60^0},b = 20,c = 35\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
-
Đẳng thức nào sau đây đúng?
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {3m + 3;4} \right);\overrightarrow b =\left( {1; - 2} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Tam giác ABC có \(A B=5, B C=7, C A=8\) . Số đo góc A bằng:
-
Giả sử CD h = là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A B , trên mặt đất sao cho ba điểm A B , và C thẳng hàng. Ta đo được \(A B=24 \mathrm{m}, \quad \widehat{C A D}=63^{\circ}, \widehat{C B D}=48^{\circ}\) . Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?
-
Tính giá trị của biểu thức \(A=a^{2} \sin 90^{\circ}+b^{2} \cos 90^{\circ}+c^{2} \cos 180^{\circ}\)
-
\(\text{Cho }\overrightarrow a = \left( {7 + x; - y + 1} \right);\overrightarrow b \left( {4;6} \right).\text{Tìm giá trị của x, y sao cho }\overrightarrow a = \overrightarrow b.\)
-
Cho tam giác ABC có AB = 5;AC = 8;BC = 7. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}\)
-
Tích vô hướng của hai vec tơ \(\overrightarrow a = \left( {0; - 3} \right);\overrightarrow b = \left( {1;3} \right) \) là:
-
Cho tam giác \(ABC\) đều có độ dài cạnh bằng \(3a\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MC} \) bằng
-
Cho hai vectơ \(\vec{a} \text { và } \vec{b}\)thỏa mãn \(|\vec{a}|=3, \quad|\vec{b}|=2 \text { và } \vec{a} \cdot \vec{b}=-3\) Xác định góc \(\alpha\) giữa hai vectơ \(\vec{a} \text { và } \vec{b}\)
-
Cho tam giác ABC có \(A=(10 ; 5), B=(3 ; 2) \text { và } C=(6 ;-5)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho biết \(\cos \alpha=-\frac{2}{3}\) Giá trị của \(P=\frac{\cot \alpha+3 \tan \alpha}{2 \cot \alpha+\tan \alpha}\)bằng bao nhiêu ?
-
Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm \(A(-1 ; 1), B(2 ; 4), C(6 ; 0)\) Khi đó tam giác ABC là tam giác:
-
Cho tam giác ABC có \(A B=3 \sqrt{3}, B C=6 \sqrt{3} \text { và } C A=9\). Gọi D là trung điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=8. \text{ Tính độ dài đường cao CE?}\)
-
\(\begin{aligned} &\text { Tam giác } A B C \text { có góc } A \text { bằng } 100^{\circ} \text { và có trực tâm } H \text {. Tính tổng }(\overrightarrow{H A}, \overrightarrow{H B})+(\overrightarrow{H B}, \overrightarrow{H C})+(\overrightarrow{H C}, \overrightarrow{H A}) \text {. } \end{aligned}\)
-
Cho tam giác ABC có \(A B=3 \sqrt{3}, B C=6 \sqrt{3} \text { và } C A=9\) . Gọi D là trung điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
-
Rút gọn biểu thức \( S = {a^2}\sin {90^0} + {b^2}\cos {90^0} + {c^2}\cos {180^0}\), ta có S bằng:
