Cho số phức z thỏa mãn \(z \cdot \bar{z}=1\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}P=\left|z^{3}+3 z+\bar{z}\right|-|z+\bar{z}|\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Goi } z=a+b i \text { , với } a, b \in \mathbb{R} \text { . } \\ \text { Ta có: } z+\bar{z}=2 a ; z \cdot \bar{z}=1 \Leftrightarrow|z|^{2}=1 \Leftrightarrow|z|=1 \\ \text { Khi đó } P=\left|z^{3}+3 z+\bar{z}\right|-|z+\bar{z}|=\left|z\left(z^{2}+3+\frac{\bar{z}}{z}\right)\right|-|z+\bar{z}| \\ P=|z| \cdot\left|z^{2}+3+\frac{\bar{z}^{2}}{|z|^{2}}\right|-|z+\bar{z}|=\left|z^{2}+2 z \bar{z}+\bar{z}^{2}+1\right|-|z+\bar{z}| \\ P=\left|(z+\bar{z})^{2}+1\right|-|z+\bar{z}|=\left|4 a^{2}+1\right|-2|a|=4 a^{2}+1-2|a|=\left(2|a|-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} \text { . } \\ \text { Vây } P_{\min }=\frac{3}{4} \end{array}\)
