Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn \(|z-i| \geq 2 \text { và }|z+1| \leq 4\) . Gọi \(z_{1}, z_{2} \in T\) lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất trong T . Khi đó \(z_{1}-z_{2}\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z=x+y i\) khi đó ta có:
\(\left\{\begin{array}{l} |z-i| \geq 2 \\ |z+1| \leq 4 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} |x+(y-1) i| \geq 2 \\ |(x+1)+y i| \leq 4 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x^{2}+(y-1)^{2} \geq 4 \\ (x+1)^{2}+y^{2} \leq 16 \end{array}\right.\right.\right.\) .
Vậy T là phần mặt phẳng giữa hai đường tròn \(\left(C_{1}\right)\) tâm \(I_{1}(0 ; 1) \text { bán kính } r_{1}=2\) và đường tròn \(\left(C_{2}\right)\) tâm \(I_{2}(-1 ; 0) \text { bán kính } r_{2}=4\) .
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(z_{1}=0-i, z_{2}=-5\) là hai số phức có điểm biểu diễn lần lượt là \(M_{1}(0 ;-1), M(-5 ; 0)\) có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất.
Do đó \(z_{1}-z_{2}=-i-(-5)=5-i\)
