Cho số phức z = a + bi (a, b là các số thực ) thỏa mãn \(z\left| z \right| + 2z + i = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + {b^2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), suy ra \(\;\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Ta có \(z\left| z \right| + 2z + i = 0 \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right)\left| {a + bi} \right| + 2\left( {a + bi} \right) + i = 0\)
\( \Leftrightarrow a\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2a + b\sqrt {{a^2} + {b^2}} i + 2bi + i = 0 \Leftrightarrow a\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2a + b\sqrt {{a^2} + {b^2}} i + 2bi + i = 0\)
\( \Leftrightarrow a\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2a + \left( {b\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2b + 1} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2a = 0\\b\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2} \right) = 0\\b\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b\sqrt {{b^2}} + 2b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\\left| b \right| = – \frac{{2b + 1}}{b}\end{array} \right.\)
\(\left| b \right| = – \frac{{2b + 1}}{b} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = – \frac{{2b + 1}}{b}\\ – \frac{{2b + 1}}{b} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = – \frac{{2b + 1}}{b}\\ – \frac{1}{2} \le b < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow b = 1 – \sqrt 2 \)
Suy ra \(T = a + {b^2} = 3 – 2\sqrt 2 \)
