Số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2}\). Tính môđun của số phức w = M + mi.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.
Với giả thiết \(\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 5\).
Nên M nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3\,;4} \right)\); bán kính \(R = \sqrt 5 \)
Có \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2} \Rightarrow P = \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} \right] – \left[ {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} \right]\).
\( \Leftrightarrow P = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 – P = 0\).
Nên M nằm trên đường thẳng d:4x + 2y + 3 – P = 0.
Suy ra đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng d phải có điểm chung.
\(d\left( {I;d} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {23 – P} \right|}}{{2\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 – P} \right| \le 10 \Leftrightarrow – 10 \le 23 – P \le 10\).
\( \Leftrightarrow 13 \le P \le 33\).
Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}M = 33\\m = 13\end{array} \right. \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{33}^2} + {{13}^2}} = \sqrt {1258} \).
Câu hỏi liên quan
-
Phương trình \(z^{2}-i z+1=0\) có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức?
-
Giải phương trình: \( (5 - 7i) + \sqrt 3 x = (2 - 5i)(1 + 3i)\)
-
Tìm số phức z biết \(\bar{z}+3 z=(3-2 i)^{2}(1+i)\)
-
Tìm môđun của số phức z , biết \( \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z|(z-6-i)+2 i=(7-i) z ?\)
-
Cho hai số phức z = (2x + 3) + (3y - 1)i và z' = 3x + (y + )i. Khi z = z', chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
Cho số phức \(z=1-\frac{i}{3}\). Tìm số phức \({\rm{w}} = i\overline z + 3z\)
-
Cho số phức z thỏa \(\left|z^{2}+4\right|=\left|z^{2}+2 i z\right|\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z+i|\)
-
Tìm số phức z thỏa mãn \((2 - i)(1+ i ) + \overline z = 4 - 2i\)
-
Cho số phức z = m + 1 + mi với (m thuộc R). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc ( - 5;5 ) sao cho \( \left| {z - 2i} \right| > 1\)
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \((1+i) z+(2-i) \bar{z}=13+2 i ?\)
-
Xét số phức z thỏa mãn \((1+2 i)|z|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Tìm các số thực x, y thỏa mãn \(\frac{x(3-2 i)}{2+3 i}+y(1-2 i)^{2}=6-5 i\)
-
Cho số phức z = 3 + 4i. Môđun của số phức \(\left( {1 + i} \right)z\) bằng
-
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình \(5 z^{2}-8 z+5=0\) \(S=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+z_{1} z_{2}\)
-
Cho số phức \(z = 1 - \frac{1}{3}i\) Tính số phức \(w = i\overline z + 3i\)
-
Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \({\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.
-
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-6 z+11=0\) . Giá trị của biểu thức \(\left|3 z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\) bằng
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho số phức z = i(1 - 3i) Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng:
