Cho phương trình \(8{\sin}^6 x={\sin}^2 2x\).
Xét các giá trị
\((I) k\pi\)
\((II) \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\)
\((III)\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
\((k\in\mathbb{Z})\).
Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình đã cho?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(8{\sin}^6 x={\sin}^2 2x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 8{\sin ^6}x - {\sin ^2}2x = 0\\
\Leftrightarrow 8{\sin ^6}x - 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\left( {2{{\sin }^4}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\left[ {2{{\sin }^4}x - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)} \right] = 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 4{\sin}^2 x(2{\sin}^4 x+{\sin}^2 x-1)=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin}^2 x = 0\\2{\sin}^4 x+{\sin}^2 x-1=0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\{\sin}^2 x=\dfrac{1}{2}\\{\sin}^2 x=-1\le 0\text{(loại)}\end{array} \right.\)
Với: \({\sin}^2 x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)
