Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} ; f(-3)-f(3)=0 \text { và } f(0)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f(-4)+f(-1)-f(4)\) bằng ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} \\ \Rightarrow f(x)=\int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+x-2}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)(x+2)}=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{1} \text { khi } x \in(-\infty ;-2) \\ \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{2} \text { khi } x \in(-2 ; 1) \\ \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{3} \quad \text { khi } \quad x \in(1 ;+\infty) \end{array}\right. \\ \text { Do đó } f(-3)-f(3)=0 \Rightarrow \frac{1}{3} \ln 4+C_{1}-\frac{1}{3} \ln \frac{2}{5}-C_{3} \Rightarrow C_{3}=C_{1}+\frac{1}{3} \ln 10 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Và } f(0)=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{3} \ln \frac{1}{2}+C_{2}=\frac{1}{3} \Rightarrow C_{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln 2 \\ \Rightarrow f(x)=\left\{\begin{array}{rll} \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{1} \text { khi } \quad x \in(-\infty ;-2) \\ \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln 2 \quad \text { khi } & x \in(-2 ; 1) \\ \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{1}+\frac{1}{3} \ln 10 \quad \quad \text { khi } & x \in(1 ;+\infty) \end{array}\right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Khi đó: } f(-4)+f(-1)-f(4)=\left(\frac{1}{3} \ln \frac{5}{2}+C_{1}\right)+\left(\frac{1}{3} \ln 2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln 2\right)-\left(\frac{1}{3} \ln \frac{1}{2}+C_{1}+\frac{1}{3} \ln 10\right) \\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln 2 \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
-
Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;2] và thỏa mãn điều kiện \(f(x)+f(2-x)=2 x\) .Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)?
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b ]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a, x=b(a<b)\) . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức.
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(f({x^3} + 2x – 2) = 3x – 1\) với \(\forall x \in R\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{10} {f(x)} dx\)
-
Cho hàm số f(x)liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{e}^{e^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{x \ln x} \mathrm{~d} x=2 . \operatorname{Tính} \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f(2 x)}{x} \mathrm{~d} x\)
-
Biết \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+x \cos x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{a}-\frac{b}{c}\). Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Tính \(T=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \sqrt {1 - {x^2}} dx\)
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn \(x^{2} f^{\prime}(x)+f(x)=0 \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ;+\infty)\). Tính \(f(2) \text { biết } f(1)=\mathrm{e}\)
-
Tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin a x d x, a \neq 0\) cóp giá trị
-
Tìm a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi \((P): y=\frac{x^{2}-2 x}{x-1}\), đường thẳng \(d: y=x-1 \text { và } x=a, x=2 a(a>1)\) bằng ln3.
-
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = \(\frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3x} }}\) và y = 0; x = 0; x = 1 xung quanh Ox
-
Đổi biến x = 2sint tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) trở thành:
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{a x+1}{x^{2}+3 x+2} d x=\frac{3}{5} \ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5} \ln \frac{2}{3}\) . Giá trị của a là
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng\(K\,\, và\,\, a, b, c \in K\) Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Biết \(\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} – 1}}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \({y^2} - 2y + x = 0,\;x + y = 0\) là
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x3−x và đồ thị hàm số y = x−x2
-
Biết rằng \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in Z)\). Mệnh đề nào sau đây đúng
-
Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [ a;b ] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
