Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới, biết rằng x = 1 và x = 3 đều là các điểm cực trị của hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đồng thời \(3f\left( 1 \right) = g\left( 3 \right) + 1, 2f\left( 3 \right) = g\left( 1 \right) + 4, f\left( { – 2x + 7} \right) = g\left( {2x – 3} \right) – 1\,\,\left( * \right)\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {1\,;3} \right]\) của hàm số \(S\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right) – {g^2}\left( x \right) + f\left( x \right) – 4g\left( x \right) + 2\). Tính tổng P = M – 2m.

A. 39

B. 107

C. 19

D. 51

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:

Báo sai

Thay lần lượt x = 2, x = 3 vào \(\left( * \right)\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) = g\left( 1 \right) – 1\\f\left( 1 \right) = g\left( 3 \right) – 1\end{array} \right.\), mà \(\left\{ \begin{array}{l}3f\left( 1 \right) = g\left( 3 \right) + 1\\2f\left( 3 \right) = g\left( 1 \right) + 4\end{array} \right.\) nên \(f\left( 1 \right) = 1, f\left( 3 \right) = 5, g\left( 1 \right) = 6,g\left( 3 \right) = 2.\)

Nhìn vào đồ thị ta thấy \(1 = f\left( 1 \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 3 \right) = 5, 2 = g\left( 3 \right) \le g\left( x \right) \le g\left( 1 \right) = 6\,\,\forall x \in \left[ {1\,;3} \right]\).

Đặt \(u = f\left( x \right), v = g\left( x \right)\) với \(1 \le u \le 5, 2 \le v \le 6\), xét

\(h\left( {u\,,v} \right) = uv – {v^2} + u – 4v + 2 = – {v^2} + \left( {u – 4} \right)v + u + 2\)

Xem \(h\left( {u\,,v} \right)\) là một hàm số bậc 2 theo biến v ta có

\(h’\left( {u\,,v} \right) = – 2v + u – 4 \le – 4 + 5 – 4 = – 3 < 0\,\,\,\forall v \in \left( {2\,;6} \right) \Rightarrow h\left( {u,\,v} \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {2\,;6} \right]\).

Suy ra

\(h\left( {u\,,6} \right) \le h\left( {u\,,v} \right) \le h\left( {u\,,2} \right) \Rightarrow 7u – 58 \le h\left( {u\,,v} \right) \le 3u – 10\)

\( \Rightarrow – 51 \le h\left( {u\,,v} \right) \le 5\) (do \(1 \le u \le 5\)).

Từ đó \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;3} \right]} S\left( x \right) = 5\), dấu bằng xảy ra khi x = 3, \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1\,;3} \right]} \left( x \right) = – 51\), dấu bằng xảy ra khi x = 1.

Vậy P = M – 2m = 107.