Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{2} \cos 2 x+4 \sin x \text { trên }\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\mathrm{TXĐ}: D=\mathbb{R}\)
Ta có \(y=-2 \sqrt{2} \sin ^{2} x+4 \sin x+\sqrt{2}\)
Đặt \(t=\sin x, x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow t \in[0 ; 1]\)
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=g(t)=-2 \sqrt{2} t^{2}+4 t+\sqrt{2}\) trên đoạn [0;1]
\(\begin{array}{l} \mathrm{g}^{\prime}(t)=-4 \sqrt{2} t+4=4(1-\sqrt{2} t) ; \mathrm{g}^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow 4(1-\sqrt{2} t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt{2}} \in(0 ; 1) \\ g(0)=\sqrt{2} ; g(1)=4-\sqrt{2} ; g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2 \sqrt{2} \end{array}\)
Do đó \(\min \limits_{\mathrm{r} \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]} y=\sqrt{2} ;(y=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sin \mathrm{x}=0, \sin 0=0)\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^2} - 2x + m} \right|\) trên đoạn [-1; 2] bằng 5.
-
Hàm số \(y=\left(x^{2}+2 x+3\right)\left(x^{2}+2 x-2\right)\)có giá trị lớn nhất là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2x+1+\frac{1}{2x+1}\)trên đoạn [1; 2] bằng
-
Hàm số \(y=4 \sqrt{x^{2}-2 x+3}+2 x-x^{2}\) đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị \(x_{1}, x_{2}\) . Tính \(x_{1}. x_{2}\)
-
Cho x;y là hai số thực bất kỳ thuộc đoạn \(\left[ {1;3} \right].\) Gọi \(M,{\rm{ }}m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}.\) Tính M + m.
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\cos 2 x+4 \cos x+1\)
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{x - 11}}{{x + 2}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 1;3} \right]\)
-
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Biết rằng m là tham số thực. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(f\left( {3x – m} \right) + 2f\left( {{x^2} – 2x} \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc tập S bằng:
.jpg.png)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) trên đoạn [1;3] là:
-
Cho hàm số \(\begin{equation} y=f(x) \end{equation}\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
\(\begin{equation} \text { Đặt } g(x)=2 f(x)+1 \end{equation}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Một trang chữ của một quyển sách tham khảo Văn học cần diện tích 384 cm2. Biết rằng trang giấy được canh lề trái là 2cm, lề phải là 2 cm, lề trên 3 cm và lề dưới là 3 cm. Trang sách đạt diện tích nhỏ nhất thì có chiều dài và chiều rộng là:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-6 x+3\) trên đoạn [0;4] là:
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2 ;4]
-
Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiều rộng 8 cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho góc ở đỉnh của nó chạm với đáy như hình vẽ. Khi độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu.
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - 2x - 5}}{{x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ {0;5} \right]\)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2 \sin ^{4} x+\cos ^{2} x+3\) bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right),\;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right), T = M + m\) Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?
.jpg.png)
-
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số:\(y=2 \sin ^{2} x+2 \sin x-1\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}},\) với m là tham số. Giá trị lớn nhất của m để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = – 2\) là
-
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S=6 t^{2}-t^{3}\) vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng
