Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) sao cho \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;10} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right) – {x^2} + 2x + m.\) Giá trị của tham số m để \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = 8\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = {x^3} + x,\;x \in \left[ {0;2} \right]\).
\(t’ = 3{x^2} + 1 > 0,\;\forall x \in \left[ {0;2} \right]\), suy ra \(0 \le t \le 10\).
Ta có \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left[ {f\left( {{x^3} + x} \right) – {x^2} + 2x + m} \right] \le \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f\left( {{x^3} + x} \right) + \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left( { – {x^2} + 2x + m} \right)\).
Mà \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f\left( {{x^3} + x} \right) = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{t \in \left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) = 4\).
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left( { – {x^2} + 2x + m} \right) = 1 + m\)
Suy ra \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) \le 4 + 1 + m = m + 5\)
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = m + 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {x^3} + x = 2\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Theo giả thiết \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow m + 5 = 8 \Leftrightarrow m = 3\)
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y=\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:
-
Hàm số \(y=x^{4}-2 x^{2}+1\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] lần lượt là:
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 9}}{{ - x + 1}}\text{ trên đoạn } \left[ {8;9} \right]\)
-
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S=6 t^{2}-t^{3}\) vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng
-
Hàm số \(y=x^{4}-2 x^{2}+1\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 2] lần lượt là:
-
Hàm số \(y=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{x+3}\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là:
-
Xét hàm số \(\begin{equation} f(x)=\left|x^{2}+a x+b\right| \end{equation}\) , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
trên [-1;3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính \(\begin{equation} T=a+2 b \text { . } \end{equation}\) -
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Biết rằng m là tham số thực, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2} – 2mx + {m^2} + 1\) tương ứng bằng:
.jpg.png)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x(x+2)(x+4)(x+6)+5\) trên nữa khoảng \([-4 ;+\infty)\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { – 3;2} \right]\) và có bảng biến thiên như sau.
.png)
Gọi \(M,{\kern 1pt} \,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\). Tính \(M + {\kern 1pt} \,m\).
-
Hàm số \(y=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{x+3}\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \cos ^{3} x-\frac{9}{2} \cos ^{2} x+3 \cos x+\frac{1}{2} \text { là: }\)
-
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=3 x+\frac{4}{x^{2}}\) trên khoảng \((0 ;+\infty) \text { . }\)
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{x - 11}}{{x + 2}}\text{ trên đoạn } \left[ {0;7} \right]\)
-
Hàm số \(y=\cos 2 x-3\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([0 ; \pi]\) bằng:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=3+\sqrt{x^{2}-2 x+5}\) bằng
-
Hàm số \(y=\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}\) có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên đoạn [0;63] là:
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – 4x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right].\)
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - x + 3}}{{2x + 5}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 5; - 3} \right]\)
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của S là
