Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) sao cho \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;10} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right) – {x^2} + 2x + m.\) Giá trị của tham số m để \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = 8\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = {x^3} + x,\;x \in \left[ {0;2} \right]\).
\(t’ = 3{x^2} + 1 > 0,\;\forall x \in \left[ {0;2} \right]\), suy ra \(0 \le t \le 10\).
Ta có \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left[ {f\left( {{x^3} + x} \right) – {x^2} + 2x + m} \right] \le \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f\left( {{x^3} + x} \right) + \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left( { – {x^2} + 2x + m} \right)\).
Mà \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f\left( {{x^3} + x} \right) = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{t \in \left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) = 4\).
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left( { – {x^2} + 2x + m} \right) = 1 + m\)
Suy ra \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) \le 4 + 1 + m = m + 5\)
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = m + 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {x^3} + x = 2\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Theo giả thiết \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow m + 5 = 8 \Leftrightarrow m = 3\)
Câu hỏi liên quan
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{x - 11}}{{x + 2}}\text{ trên đoạn } \left[ {0;7} \right]\)
-
Cho \(x^{2}-x y+y^{2}=2 \text { . }\)Giá trị nhỏ nhất của \(P=x^{2}+x y+y^{2} b\) bằng
-
Hàm số \(y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 3] là:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^{3}-8 x^{2}+16 x-9\) trên đoạn [1;3] là:
-
Biết giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\sqrt {4 – {x^2}} + x – \frac{1}{2}} \right| + m\) là 18. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\left|x^{3}+3 x^{2}-72 x+90\right| \text { trên }[-5 ; 5]\)
-
Hàm số \(y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;3] là:
-
Cho hàm số \(y=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\) . Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y=f(x) trên đoạn [-2;2]?
-
Cho hàm số có f(x) có đạo hàm là hàm \(f^{\prime}(x)\). Đồ thị hàm số \(f^{\prime}(x)\) như hình vẽ bên. Biết rằng \(f(0)+f(1)-2 f(2)=f(4)-f(3)\) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f(x) trên đoạn [0;4]?
-
GTLN của hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} + 16\) trên đoạn [-1;3] là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây.
.jpg.png)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x + 1} \right)^2}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f'(x) như hình vẽ.
.jpg.png)
Xét hàm số \(g(x) = f(x) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 2018.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x(x+2)(x+4)(x+6)+5\) trên nữa khoảng \([-4 ;+\infty)\)
-
Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{2} \cos x\) trên đoạn \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\).
-
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới, biết rằng x = 1 và x = 3 đều là các điểm cực trị của hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đồng thời \(3f\left( 1 \right) = g\left( 3 \right) + 1, 2f\left( 3 \right) = g\left( 1 \right) + 4, f\left( { – 2x + 7} \right) = g\left( {2x – 3} \right) – 1\,\,\left( * \right)\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {1\,;3} \right]\) của hàm số \(S\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right) – {g^2}\left( x \right) + f\left( x \right) – 4g\left( x \right) + 2\). Tính tổng P = M – 2m.
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{2x-1}\). Chọn phương án đúng trong các phương án sau
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=e^{x}\left(x^{2}-3\right)\) trên đoạn [-2;2]
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x+\cos ^{2} x\) trên đoạn \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Bất phương trình \(f\left( x \right) < {x^3} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)\) khi và chỉ khi
