Cho \(x, y \in \mathbb{R} \text { thỏa } \text { mãn } x+y \neq-1\) và \(x^{2}+y^{2}+x y=x+y+1\). Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x y}{x+y+1}\). Tính M+m.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Với điều kiện } x+y \neq-1 ; x^{2}+y^{2}+x y=x+y+1 \text { ta có } P=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}+x y} \text { . }\)
\(\text { Nếu } y=0 \text { thì }\left\{\begin{array}{l} x \neq-1 \\ x^{2}-x-1=0 \end{array} \Leftrightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \text { . Khi đó } P=0\right. \text { . }\)
\(\text { Nếu } y \neq 0 \text { thì } P=\frac{\frac{x}{y}}{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+\frac{x}{y}+1} \text { . Đặt } t=\frac{x}{y} \text { . Ta có } P=\frac{t}{t^{2}+t+1}, t \in \mathbb{R} \text { . }\)
\(\text { Xét } f(t)=\frac{t}{t^{2}+t+1}, t \in \mathbb{R} \cdot f^{\prime}(t)=\frac{-t^{2}+1}{\left(t^{2}+t+1\right)^{2}} ; f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t=\pm 1\)
Từ bẳng biến thiên:
\(M=\frac{1}{3} \text { tại }\left\{\begin{array} { l } { \frac { x } { y } = 1 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x y = x + y + 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=y \\ 3 x^{2}-2 x-1=0 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = y}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} x = 1\\ x = - \frac{1}{3} \end{array} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=y=1 \\ x=y=-\frac{1}{3} \end{array}\right.\)
\(m=-1 \text { tại }\left\{\begin{array} { l } { \frac { x } { y } = - 1 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x y = x + y + 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=-y \\ x^{2}-1=0 \end{array}\right.\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=-y \\ {\left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array}\right.} \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=-1 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=1 \end{array}\right. \end{array}\right.\)
\(\text { Vậy } M+m=-\frac{2}{3} \text { . }\)
Câu hỏi liên quan
-
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x – 4\) trên \(\left[ { – 4;0} \right]\) lần lượt là M và m. Giá trị của M + m bằng
-
Gọi M, N lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 1\) trên \(\left[ {1;2} \right]\). Khi đó tổng M + N bằng
-
Hàm số \(y=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất lần lượt tại hai điểm có hoành độ:
-
Hàm số \(y=\tan x+\cot x\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{3}\right]\) tại điểm có hoành độ là:
-
Trên đoạn [-1; 1], hàm số \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} - x - 3\)
-
Hàm số \(y=x^{4}-2 x^{2}+1\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] lần lượt là:
-
Hàm số \(y=\frac{x^{2}-2}{\sqrt{x^{2}+1}}\) có giá trị nhỏ nhất bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\) là:
-
Hàm số \(y=x^{8}+\left(x^{4}-1\right)^{2}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1;2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\). Khi đó tích \(x_{1} . x_{2}\) có giá trị bằng
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – 4x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right].\)
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sin ^{2} x-4 \sin x-5\)?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ:
.png)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=2 \cos 2 x+2 \sin x\) là
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{11x - 1}}{{2x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 1;4} \right]\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{2 x^{2}+1}\) bằng
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\) trên đoạn [1;3].
-
Hàm số \(y = {\left( {4 – {x^2}} \right)^2} + 1\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) là:
-
Hàm số \(y=\cos x(\sin x+1)\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([0 ; \pi]\) lần lượt là:
-
Cho hàm số y = x3- 3x+ 1. Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị m > 0, để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D = [m+ 1; m+ 2] luôn bé hơn 3 là:
-
GTLN của hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} + 16\) trên đoạn [-1;3] là
