Cho các số phức z, w thỏa mãn \(|z-5+3 i|=3 \text { và }|i w+4+2 i|=2\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(|3 i z+2 w|\) bằng :
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đặt }\left\{\begin{array}{l} z_{1}=3 z \\ z_{2}=2 i w \end{array} \Rightarrow P=|3 i z+2 w|=|3 z-2 i w|=\left|z_{1}-z_{2}\right|\right.\)
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức \(z_{1} \text { và } z_{2}\)
\(\begin{aligned} &\text { +) }|z-5+3 i|=3 \Leftrightarrow|3 z-15+9 i|=9 \Leftrightarrow\left|z_{1}-15+9 i\right|=9 \Rightarrow A \text { thuộc đường tròn tâm } I(15 ;-9) \text { , }\\ &\text { bán kính } R_{1}=9 \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { +) }|i w+4+2 i|=2 \Leftrightarrow|2 i w+8+4 i|=4 \Leftrightarrow\left|z_{2}+8+4 i\right|=4 \Rightarrow B \text { thuộc đường tròn tâm } J(-8 ;-4) \text { , }\\ &\text { bán kính } R_{2}=4 \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Vì } I J=\sqrt{554}>13=R_{1}+R_{2} \text { nên hai đường tròn }\left(I ; R_{1}\right) \text { và }\left(J ; R_{2}\right) \text { ngoài nhau. }\\ &\Rightarrow P=\left|z_{1}-z_{2}\right|=A B \Rightarrow P_{\max }=\left|I J+R_{1}+R_{2}\right|=13+\sqrt{554} \text { . } \end{aligned}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(|3 i z+2 w| \text { bằng } 13+\sqrt{554} \text { . }\)
