Cho các số phức \(z_1\ne0;z_2\ne 0\) thỏa mãn điều kiện \(\begin{array}{l} \frac{2}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} \end{array}\)Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| + \left| {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right|\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} \frac{2}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} \Leftrightarrow \frac{{2{z_2} + {z_1}}}{{{z_1}.{z_2}}} = \frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} \Leftrightarrow \left( {2{z_2} + {z_1}} \right)\left( {{z_1} + {z_2}} \right) - {z_1}.{z_2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{z_1}{z_2} + 2{z_2}^2 + {z_1}^2 + {z_1}{z_2} - {z_1}.{z_2} = 0 \Leftrightarrow 2{z_1}{z_2} + 2{z_2}^2 + {z_1}^2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)^2} + 2\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = - 1 - i\\ \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = - 1 + i \end{array} \right. \Rightarrow \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \sqrt 2 ;\left| {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow P = \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| + \left| {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \end{array}\)
