Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = a, CD = AB = 2a, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:
\(A{C^2}\; = {\rm{ }}A{B^2}\; + {\rm{ }}B{C^2}\; = {\rm{ }}{\left( {2a} \right)^2}\; + {\rm{ }}{a^2}\; = {\rm{ }}5{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 5 \)
Do đó: \(BD = AC = a\sqrt 5 \)
Suy ra: \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.a\sqrt 5 = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Ta có: \({\rm{co}}s\widehat {BAO}\,{\rm{ = }}\,{\rm{co}}s\widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AO} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = AB.AO.\cos \widehat {BAO} = 2a.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{2}{{\sqrt 5 }} = 2{a^2}\)
