Cho tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC. Khi đó bằng \(a \cot A+b \cot B+c \cot C\) bằng với
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(r=\frac{S}{p}=\frac{a b \sin C}{a+b+c}\)
\(\begin{aligned} &=\frac{2 R \sin A \cdot 2 R \sin B \cdot \sin C}{2 R(\sin A+\sin B+\sin C)}\\ &=\frac{2 R .8 \cdot \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}\\ &=4 R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \text { . }(1) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a \cot A+b \cot B+c \cot C &=2 R[\sin A \cot A+\sin B \cot B+\sin C \cot C] \\ &=2 R[\cos A+\cos B+\cos C] \\ &=2 R\left[1+4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\right] \\ &=2 R+2 r=2(R+r) \mathrm{do}(1) . \end{aligned}\)
