Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm BC, K là hình chiếu của H trên AC và M là trung
điểm của HK. Tính góc giũa \(\overrightarrow{A M}\) và \(\overrightarrow{H N}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi N là trung điểm của KC. Khi đó HN // BK
Lại có
\(\begin{aligned} & 2 \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A H}+\overrightarrow{A K} ; 2 \overrightarrow{H N}=\overrightarrow{H K}+\overrightarrow{H C} \text { . Do đó } \\ &4 \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{H N}=(\overrightarrow{A H}+\overrightarrow{A K}) \cdot(\overrightarrow{H K}+\overrightarrow{H C}) \\ &=\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{H K}+\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{H C}+\overrightarrow{A K} \cdot \overrightarrow{H K}+\overrightarrow{A K} \cdot \overrightarrow{H C} \\ &=\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{H K}+\overrightarrow{A K} \cdot \overrightarrow{H C} \\ &=A H \cdot H K \cdot \cos (\overrightarrow{A H}, \overrightarrow{H K})+A K \cdot H C \cdot \cos (\overrightarrow{A K}, \overrightarrow{H C}) \\ &=-A H . H K \cdot \cos \widehat{A H K}+A K \cdot H C \cdot \cos \widehat{A C H} . \quad(*) \end{aligned}\)
\(\text { Dễ thấy tam giác } A H K \text { và } H C K \text { đồng dạng nên } A H . H K=A K \cdot H C \text { và }\widehat{A H K}=\widehat{A C H} \text { nên từ }(*) \text { có } \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{H N}=0\)
Vậy \((\overrightarrow{A M};\overrightarrow{H N})=90^o\)
