Trong mọi tam giác ABC. Kết quả của \(\frac{b-c}{a} \cos ^{2} \frac{A}{2}+\frac{c-a}{b} \cos ^{2} \frac{B}{2}+\frac{a-b}{c} \cos ^{2} \frac{C}{2}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} \frac{b-c}{a} \cos ^{2} \frac{A}{2} &=\frac{\sin B-\sin C}{\sin A} \cos ^{2} \frac{A}{2}=\frac{2 \cos \frac{B+C}{2} \sin \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} \cos ^{2} \frac{A}{2} \\ =& \frac{2 \sin \frac{B-C}{2} \sin \frac{B+C}{2}}{2}=\frac{1}{2}(\cos C-\cos B)\quad(1) \end{aligned}\)
Tương tự ta có
\(\begin{aligned} &\frac{c-a}{b} \cos ^{2} \frac{B}{2}=\frac{1}{2}(\cos A-\cos C)\quad(2) \\ &\frac{a-b}{c} \cos ^{2} \frac{C}{2}=\frac{1}{2}(\cos B-\cos A)\quad(3) . \end{aligned}\)
Cộng theo vế (1), (2), (3) suy ra
\(\frac{{b - c}}{a}{\cos ^2}\frac{A}{2} + \frac{{c - a}}{b}{\cos ^2}\frac{B}{2} + \frac{{a - b}}{c}{\cos ^2}\frac{C}{2} = \frac{1}{2}(\cos C - \cos B) + \frac{1}{2}(\cos A - \cos C) + \frac{1}{2}(\cos B - \cos A) = 0\)
