Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Đặt \(g\left( x \right)=\frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}\), \(x\in \left[ -1;1 \right]\).
Nếu \(g\left( x \right)=0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) thì \(\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=0\), không thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\).
Do đó để có \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) <1\) thì điều kiện cần là phương trình \(g\left( x \right)=0\) không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\).
Trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\): \(g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}=0\)\( \Leftrightarrow mx-2\sqrt{x+4}=0\)\( \Leftrightarrow m=\frac{2\sqrt{x+4}}{x}\).
Đặt \(h\left( x \right)=\frac{2\sqrt{x+4}}{x}\) với \(x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có \({h}'\left( x \right)=\frac{-x-8}{{{x}^{2}}\sqrt{x+4}}<0\), \(\forall x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\) với \(x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
.PNG)
Do đó để không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) thì ta phải có \(m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right)\).
Ta có \({g}'\left( 0 \right)=\frac{2m+3}{8}=0\)\( \Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\).
Vậy nếu \(m\) nguyên thì \(x=0\) không phải là điểm cực trị của \(g\left( x \right)\), do đó \(f\left( x \right)\) không thể đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=0\).’
Mà \(f\left( 0 \right)=1\).
Do đó với \(m\) nguyên, \(m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right)\) thì \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\).
Vậy \(m\in \left\{ -3;-1;...;3;4 \right\}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Văn Can
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).
-
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x+2}\) trên đoạn \(\left[ 0\,;\,3 \right]\) bằng
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}\)là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0\) có nghiệm \(x\in \left[ 1;9 \right]\).
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0\). Tính diện tích của mặt cầu \((S)\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;1;-2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}\). Đường thẳng qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là
-
Cho hàm số \({y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}\) với \({m}\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \({m}\) đề hàm số đã cho đồng biến trên \({\mathbb{R}}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
-
Cho \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức phân biệt của phương trình \({{z}^{2}}-4z+13=0\). Tính \({{\left| {{z}_{1}}+i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}+i \right|}^{2}}\).
-
Có bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với \(x,y\) nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn
\(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.
Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right)+1=0\) là
-
Cho hình trụ có bán kính \(r=2\) và chiều cao \(h=3\). Diện tích xung quanh của hình trụ này bằng
-
Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{2}^{2}\left( 2x \right)+1\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{5}} \right)\)là
-
Cho các số phức \(z=2+i\) và \(\omega =3-2i\). Phần ảo của số phức \(z+2\omega \) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y={f}'\left( 1+x \right)\) có đồ thị như trong hình bên.
.PNG)
Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+2x-2022+m \right)\) đồng biến trên \(\left( 0\,;\,1 \right)\)?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ.
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)\) là
