Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng

Cho các số phức $z=2+i$ và $\omega =3-2i$. Phần ảo của số phức $z+2\omega$ bằng

Cho hàm số ${y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}$ với ${m}$ là tham số. Số các giá trị nguyên của ${m}$ đề hàm số đã cho đồng biến trên ${\mathbb{R}}$ là

Cho khối cầu có bán kính $R=6$. Thể tích khối cầu bằng

Cho hàm số

$f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.$.

Biết $\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Giá trị của $a+b+6c$ bằng

Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện $0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1$?

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}$ và $\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1$. Biết $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $T=a+b$

Cho ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình ${{z}^{2}}-4z+13=0$. Tính ${{\left| {{z}_{1}}+i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}+i \right|}^{2}}$.

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$, $AB=2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC$. Mặt phẳng $\left( AMN \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng

Biết rằng đồ thị $(H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}$ có hai điểm cực trị $A,B$. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $AB$

Có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh gồm nam và nữ từ nhóm $10$ học sinh gồm $4$ nam và $6$ nữ?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0$ có nghiệm $x\in \left[ 1;9 \right]$.

Cho hàm số $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;\,2 \right]$ và $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2$, $\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2$. Tính $\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}$.

Trong không gian $Oxyz,$ hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( 3;\,1;\,2 \right)$ lên trục $Oy$ là điểm

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1 \right|\ge 1$. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|$ lần lượt là $M$ và $m$. Khi đó giá trị của $\left( {{M}^{2}}+{{m}^{2}} \right)$ bằng:

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý, $\log \left( {{a}^{5}}{{b}^{10}} \right)$ bằng

Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y={{x}^{2}}-2x$, $y=0$ trong mặt phẳng $Oxy$. Quay hình $\left( H \right)$ quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$. Biết hàm số $y={f}'\left( 1+x \right)$ có đồ thị như trong hình bên.

Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho hàm số $g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+2x-2022+m \right)$ đồng biến trên $\left( 0\,;\,1 \right)$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $SA=1$ và đáy $ABC$ là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ.

Số điểm cực tiểu của hàm số $g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)$ là

Có bao nhiêu bộ $\left( x;y \right)$ với $x,y$ nguyên và $1\le x,y\le 2020$ thỏa mãn

$\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)$?