Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $SA=1$ và đáy $ABC$ là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$.

Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y={{x}^{2}}-2x$, $y=0$ trong mặt phẳng $Oxy$. Quay hình $\left( H \right)$ quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện $0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1$?

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $B=3$ và chiều cao $h=4$. Thể tích của khối lăng trụ này bằng

Cho số phức $z=2i+1$. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng tọa độ?

Cho ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình ${{z}^{2}}-4z+13=0$. Tính ${{\left| {{z}_{1}}+i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}+i \right|}^{2}}$.

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24$ cắt mặt phẳng

$(\alpha): x+y+4=0$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho khoàng cách từ $M$ đến $A(4 ;-12 ; 1)$ nhỏ nhất có tung độ bằng

Trong không gian $Oxyz,$ hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( 3;\,1;\,2 \right)$ lên trục $Oy$ là điểm

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$, $AB=2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC$. Mặt phẳng $\left( AMN \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CM$ theo $a$.

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}=2$ và số hạng thứ tư ${{u}_{4}}=17$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0$ có nghiệm $x\in \left[ 1;9 \right]$.

Cho hình trụ có bán kính $r=2$ và chiều cao $h=3$. Diện tích xung quanh của hình trụ này bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}$ và $\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1$. Biết $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $T=a+b$

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $a\sqrt{3}$. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục, cách trục một khoảng bằng a ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ đó bằng

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0$. Tính diện tích của mặt cầu $(S)$

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;1;-2 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}$. Đường thẳng qua $A$ và song song với $d$ có phương trình tham số là

Cho hàm số ${y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}$ với ${m}$ là tham số. Số các giá trị nguyên của ${m}$ đề hàm số đã cho đồng biến trên ${\mathbb{R}}$ là

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm của phương trình $2f\left( x \right)+1=0$ là