Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0\) có nghiệm \(x\in \left[ 1;9 \right]\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
Điều kiện: \(x>0\).
Ta có: \(\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0\)\( \Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+2-m=0\).
Đặt \(t={{\log }_{3}}x\), với \(x\in \left[ 1;9 \right]\)\( \Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]\).
Phương trình đã cho trở thành: \({{t}^{2}}-mt+2-m=0\)\( \Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}\,\,\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}\) với \(t\in \left[ 0;2 \right]\) ta có:
\({f}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\),
\({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-2=0\).
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1+\sqrt{3}\in \left[ 0;2 \right] \\ & t=-1-\sqrt{3}\notin \left[ 0;2 \right] \\ \end{align} \right.\)
Bảng biến thiên:
Khi đó: phương trình đã cho có nghiệm \(x\in \left[ 1;9 \right]\) \(\Leftrightarrow \)Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(t\in \left[ 0;2 \right]\).
\(\Leftrightarrow -2+2\sqrt{3}\le m\le 2\).
Mặt khác, do \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m=2\).
Vậy có một giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Văn Can