Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
.PNG)
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), suy ra \(AB\bot \left( CI{C}' \right)\) nên góc giữa \(\left( {C}'AB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) là góc \(\left( CI,{C}'I \right)\), suy ra \(\widehat{{C}'IC}=60{}^\circ \).
Tam giác \({C}'IC\) vuông tại \(C\) nên \({C}'C=CI\cdot \tan \widehat{{C}'IC}=\frac{AB}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CI={{a}^{2}}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V=C{C}'\cdot {{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}\).
Trong \(\left( AC{C}'{A}' \right)\), kéo dài \(AM\) cắt \(C{C}'\) tại \(O\).
Suy ra \({C}'M\) là đường trung bình của \(\Delta OAC\), do đó \(OC=2C{C}'=2a\sqrt{3}\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.ACN}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{ACN}}\cdot OC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {{S}_{ABC}}\cdot 2C{C}'=\frac{1}{3}V\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{{C}'ME}}\cdot O{C}'=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}\cdot O{C}'=\frac{1}{24}V\).
Do đó \({{V}_{{C}'EM.CAN}}={{V}_{O.ACN}}-{{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{24}V=\frac{7}{24}V=\frac{7}{24}\cdot {{a}^{3}}\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Vậy phần thể tích nhỏ hơn là \({{V}_{{C}'EM.CAN}}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Văn Can
Câu hỏi liên quan
-
Có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh gồm nam và nữ từ nhóm \(10\) học sinh gồm \(4\) nam và \(6\) nữ?
-
Cho \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức phân biệt của phương trình \({{z}^{2}}-4z+13=0\). Tính \({{\left| {{z}_{1}}+i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}+i \right|}^{2}}\).
-
Biết rằng \({{\log }_{3}}4=a\) và \(T={{\log }_{12}}18\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm cho bởi công thức
Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
-
Cho số phức \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=4\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;1;-2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}\). Đường thẳng qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là
-
Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CM\) theo \(a\).
.PNG)
-
Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x+y-z+3=0\). Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).
.PNG)
Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0\). Tính diện tích của mặt cầu \((S)\)
-
Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của 3 lớp A, B, C.
-
Cho hàm số
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).
Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.
Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right)+1=0\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 1;1;-2 \right)\); \(B\left( 2;0;3 \right)\); \(C\left( -2;4;1 \right)\). Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là
