Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), suy ra \(AB\bot \left( CI{C}' \right)\) nên góc giữa \(\left( {C}'AB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) là góc \(\left( CI,{C}'I \right)\), suy ra \(\widehat{{C}'IC}=60{}^\circ \).
Tam giác \({C}'IC\) vuông tại \(C\) nên \({C}'C=CI\cdot \tan \widehat{{C}'IC}=\frac{AB}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CI={{a}^{2}}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V=C{C}'\cdot {{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}\).
Trong \(\left( AC{C}'{A}' \right)\), kéo dài \(AM\) cắt \(C{C}'\) tại \(O\).
Suy ra \({C}'M\) là đường trung bình của \(\Delta OAC\), do đó \(OC=2C{C}'=2a\sqrt{3}\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.ACN}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{ACN}}\cdot OC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {{S}_{ABC}}\cdot 2C{C}'=\frac{1}{3}V\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{{C}'ME}}\cdot O{C}'=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}\cdot O{C}'=\frac{1}{24}V\).
Do đó \({{V}_{{C}'EM.CAN}}={{V}_{O.ACN}}-{{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{24}V=\frac{7}{24}V=\frac{7}{24}\cdot {{a}^{3}}\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Vậy phần thể tích nhỏ hơn là \({{V}_{{C}'EM.CAN}}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Văn Can