Trong không gian với hệ tọa độ ${O x y z}$, cho tam giác ${A B C}$ có ${A B=2 A C}$ và điểm $M(2 ; 0 ; 4)$. Biết điểm $B$ thuộc đường thẳng $d: \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$, điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(P): 2 x+y-z-2=0$ và ${A M}$ là phân giác trong của tam giác ${A B C}$ kẻ từ $A(M \in B C)$. Phương trình đường thẳng ${B C}$ là

Cho hàm số ${y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}$ với ${m}$ là tham số. Số các giá trị nguyên của ${m}$ đề hàm số đã cho đồng biến trên ${\mathbb{R}}$ là

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$, $AB=2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC$. Mặt phẳng $\left( AMN \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng

Có bao nhiêu bộ $\left( x;y \right)$ với $x,y$ nguyên và $1\le x,y\le 2020$ thỏa mãn

$\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)$?

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}$ và $\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1$. Biết $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $T=a+b$

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng

Biết rằng đồ thị $(H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}$ có hai điểm cực trị $A,B$. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $AB$

Cho hàm số

$f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.$.

Biết $\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Giá trị của $a+b+6c$ bằng

Tập xác định của hàm số $y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}$là

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ.

Số điểm cực tiểu của hàm số $g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)$ là

Cho khối cầu có bán kính $R=6$. Thể tích khối cầu bằng

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0$?

Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( 1;1;-2 \right)$; $B\left( 2;0;3 \right)$; $C\left( -2;4;1 \right)$. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ có phương trình là

Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện $0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1$?

Tập xác định của hàm số ${y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}$ là

Cho hàm số $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;\,2 \right]$ và $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2$, $\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2$. Tính $\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}$.

Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của 3 lớp A, B, C.

Cho các số phức $z=2+i$ và $\omega =3-2i$. Phần ảo của số phức $z+2\omega$ bằng

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và dấu của đạo hàm cho bởi công thức

Hàm số $f\left( x \right)$ có mấy điểm cực trị?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log _{2}^{2}\left( 2x \right)+1\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{5}} \right)$là

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm của phương trình $2f\left( x \right)+1=0$ là