Cho hàm số
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).
Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
Đặt \(t=\ln x\), \(dt=\frac{1}{x}dx\) và \(x=\frac{1}{e}\)\(\Rightarrow t=-1\); \(x=e\)\(\Rightarrow t=1\).
\(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( 2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}+1 \right)dt}+\int\limits_{0}^{1}{3{{t}^{2}}\ln \left( t+1 \right)dt}\).
Tính \(I=\int\limits_{-1}^{0}{\left( 2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}+1 \right)dt}=\int\limits_{-1}^{0}{2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}dt}+\int\limits_{-1}^{0}{dt}=\int\limits_{-1}^{0}{2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}dt}+1\).
Đặt \(u=\sqrt{{{t}^{2}}+3}\)\(\Rightarrow udu=tdt\); \(t=-1\Rightarrow u=2;t=0\Rightarrow u=\sqrt{3}\).
\(I=\int\limits_{2}^{\sqrt{3}}{2{{u}^{2}}du}+1=\left. 2\frac{{{u}^{3}}}{3} \right|_{2}^{\sqrt{3}}+1=2\sqrt{3}-\frac{13}{3}\).
Tính \(J=\int\limits_{0}^{1}{3{{t}^{2}}\ln \left( t+1 \right)dt}\)
\(\left\{ \begin{align} & u=\ln \left( t+1 \right) \\ & dv={{t}^{2}}dt \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{1}{t+1}dt \\ & v=\frac{{{t}^{3}}+1}{3} \\ \end{align} \right.\)
\(J=\left. \left( {{t}^{3}}+1 \right)\ln \left( t+1 \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)dt}\)\(=\left. \left( {{t}^{3}}+1 \right)\ln \left( t+1 \right) \right|_{0}^{1}-\left. \left( \frac{{{t}^{3}}}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{2}+t \right) \right|_{0}^{1}\)\(=2\ln 2-\frac{5}{6}\).
Vậy \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}\)\(=2\sqrt{3}+2\ln 2-\frac{31}{6}\).
\(\Rightarrow \)\(A+b+6c=2+2-31=-27\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Văn Can
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y={f}'\left( 1+x \right)\) có đồ thị như trong hình bên.
.PNG)
Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+2x-2022+m \right)\) đồng biến trên \(\left( 0\,;\,1 \right)\)?
-
Biết rằng \({{\log }_{3}}4=a\) và \(T={{\log }_{12}}18\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mặt phẳng
\((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng
-
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\), là
-
Có bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với \(x,y\) nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn
\(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)?
-
Xét tích phân \(I=\int_{0}^{1}{{{e}^{\sqrt{2x+1}}}\text{d}x}\), nếu đặt \(u=\sqrt{2x+1}\)thì \(I\) bằng
-
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
-
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).
.PNG)
Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0\). Tính diện tích của mặt cầu \((S)\)
-
Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Tập xác định của hàm số \({y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}\) là
-
Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CM\) theo \(a\).
.PNG)
-
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\sqrt{3}\). Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục, cách trục một khoảng bằng a ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ đó bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\).
-
Cho \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức phân biệt của phương trình \({{z}^{2}}-4z+13=0\). Tính \({{\left| {{z}_{1}}+i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}+i \right|}^{2}}\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{5}^{2x+1}}\le 25\) là
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x+y-z+3=0\). Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
-
Cho hàm số \({y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}\) với \({m}\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \({m}\) đề hàm số đã cho đồng biến trên \({\mathbb{R}}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
