Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0\). Tính diện tích của mặt cầu \((S)\)

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mặt phẳng

\((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x+y-z+3=0\). Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?

Cho các số phức \(z=2+i\) và \(\omega =3-2i\). Phần ảo của số phức \(z+2\omega \) bằng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?

Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Thể tích khối cầu bằng

Cho hình trụ có bán kính \(r=2\) và chiều cao \(h=3\). Diện tích xung quanh của hình trụ này bằng

Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?

Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CM\) theo \(a\).

Cho hàm số

\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).

Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\), là

Tập nghiệm của bất phương trình \({{5}^{2x+1}}\le 25\) là

Cho \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức phân biệt của phương trình \({{z}^{2}}-4z+13=0\). Tính \({{\left| {{z}_{1}}+i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}+i \right|}^{2}}\).

Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\)?

Xét tích phân \(I=\int_{0}^{1}{{{e}^{\sqrt{2x+1}}}\text{d}x}\), nếu đặt \(u=\sqrt{2x+1}\)thì \(I\) bằng

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x+2}\) trên đoạn \(\left[ 0\,;\,3 \right]\) bằng

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).

Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) bằng

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ.

Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)\) là

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).

Tập xác định của hàm số \(y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}\)là