Tập nghiệm của bất phương trình \({{5}^{2x+1}}\le 25\) là

Có bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với \(x,y\) nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn

\(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)?

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mặt phẳng

\((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y={f}'\left( 1+x \right)\) có đồ thị như trong hình bên.

Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+2x-2022+m \right)\) đồng biến trên \(\left( 0\,;\,1 \right)\)?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ.

Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)\) là

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm cho bởi công thức

Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?

Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 3;\,1;\,2 \right)\) lên trục \(Oy\) là điểm

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\), là

Tập xác định của hàm số \({y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}\) là

Tập xác định của hàm số \(y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}\)là

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z+1 \right|\ge 1\). Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó giá trị của \(\left( {{M}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\) bằng:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).

Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 1;1;-2 \right)\); \(B\left( 2;0;3 \right)\); \(C\left( -2;4;1 \right)\). Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là

Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có hai điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?

Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CM\) theo \(a\).

Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{2}^{2}\left( 2x \right)+1\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{5}} \right)\)là

Cho hàm số

\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).

Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng