Trong khai triển ${\left( {1 + x + {x^2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}$ có $\dfrac{{{a_1}}}{2} = \dfrac{{{a_2}}}{{11}}$ thì giá trị của $n$ là

Khẳng định nào dưới đây về tính đơn điệu của hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 2019$ là đúng ?

Cho hai số thực $x;y$ thỏa mãn $0 < x < 1 < y$. Trong các bất đẳng thức sau, có bao nhiêu bất đẳng thức đúng?     

$\left( 1 \right)\,{\log _x}\left( {1 + y} \right) > {\log _{\frac{1}{y}}}x$         

$\left( 2 \right)\,{\log _y}\left( {1 + x} \right) > {\log _x}y$       

$\left( 3 \right)\,{\log _y}x < {\log _{1 + x}}\left( {1 + y} \right)$

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - 5,\forall n \ge 1\end{array} \right.$. Số hạng thứ $3$ của dãy số đã cho là

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $A$ và song song với $BD$ cắt cạnh $SC$ tại $I$ và chia khối chóp thành $2$ phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Tập xác định của hàm số $y = {\pi ^{ - x}}$ là

Cho $a;b$ là các số thực thỏa mãn $a > 0$ và $a \ne 1$ biết phương trình ${a^x} - \frac{1}{{{a^x}}} = 2\cos \left( {bx} \right)$ có 7 nghiệm thực phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${a^{2x}} - 2{a^x}\left( {{\mathop{\rm cosbx}\nolimits}  + 2} \right) + 1 = 0$      

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x }}{{f\left( x \right) + 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

Cho hình trụ $\left( T \right)$ có chiều cao bằng đường kính đáy, hay đáy là các hình tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';R} \right)$. Gọi $A$ là điểm di động trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $B$ là điểm di động trên đường tròn $\left( {O';R} \right)$, khi đó thể tích khối tứ diện $OO'AB$ có giá trị lớn nhất là

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\left| {f\left( {\left| {x - 2} \right|} \right) + 1} \right| - m = 0$ có $8$ nghiệm phân biệt trong khoảng $\left( { - 5;5} \right)?$

Cho tứ diện $ABCD$, có $AB = CD = 5$, khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng $12$, góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng ${30^0}$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ .

 Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $4$. Gọi $M,N,P,Q,R,S$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AB,AC,CD,BD,AD,BC$. Thể tích khối bát diện đều $RMNPQS$ là

Cho $a > 0$ và $a \ne 1.$ Giá trị của biểu thức ${a^{{{\log }_{\sqrt a }}3}}$  bằng 

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \cos 2x + mx$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ 

Cắt khối trụ có bán kính đáy bằng $5$ và chiều cao bằng $10$ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $3$ ta được thiết diện là 

Khối lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = {x^4} - 3{x^2} + 2018$ tại điểm có hoành độ bằng $1$ có phương trình 

Tìm $I = \lim \dfrac{{3n - 2}}{{n + 1}}$ 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình $f\left( x \right) = m$ ($m$ là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( { - 2;6} \right)$?

Hình nón bán kính đáy $R$ và đường sinh $l$ thì có diện tích xung quanh bằng

Cho ${\log _2}3 = a,{\log _3}5 = b$, giá trị của biểu thức $P = {\log _{20}}36 - {\log _{75}}12$ tính theo $a,b$ là