Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân \(\left( {AB//CD} \right)\). Biết \(AD = 2\sqrt 5 ;AC = 4\sqrt 5 ;AC \bot AD;SA = SB = SC = SD = 7.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA,CD.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
+ Gọi \(E;F\) lần lượt là trung điểm của \(CD;AB\).
Vì \(ABCD\) là hình thang nên \(AB//CD;\,EF \bot AB;EF \bot CD\) suy ra
\(CD//\left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {CD;SA} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {E;\left( {SAB} \right)} \right)\)
Vì \(ABCD\) là hình thang cân có \(AD \bot AC \Rightarrow BC \bot BD\)
Xét các tam giác vuông \(ACD;BCD\) có \(E\) là trung điểm cạnh huyền nên \(EA = EB = EC = ED \Rightarrow E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABCD.\)
Lại có \(SA = SB = SC = SD\left( {gt} \right) \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)\) tại \(E\) suy ra \(SE \bot AB\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SE\\AB \bot EF\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SEF} \right)\) . Trong \(\left( {SEF} \right)\) kẻ \(EH \bot SF\) tại \(H\) .
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}EH \bot AB\left( {do\,AB \bot \left( {SEF} \right)} \right)\\EH \bot SF\end{array} \right.\)\( \Rightarrow EH \bot \left( {SAB} \right)\) tại \(H \Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = d\left( {E;\left( {SAB} \right)} \right) = EH\)
+ Xét tam giác vuông \(ADC\) ta có \(DC = \sqrt {A{D^2} + A{C^2}} = 10\)
+ Vì \(EF \bot CD\) nên \({S_{ADC}} = \dfrac{1}{2}EF.DC = \dfrac{1}{2}AD.AC = \dfrac{1}{2}2\sqrt 5 .4\sqrt 5 = 20 \Rightarrow EF = 4\)
+ Xét tam giác vuông \(SEC\) (do \(SE \bot \left( {ABCD} \right)\) ) có \(SE = \sqrt {S{C^2} - E{C^2}} = \sqrt {{7^2} - {{\left( {\dfrac{{DC}}{2}} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 \)
+ Xét tam giác vuông \(SEF\) có \(EH\) là đương cao nên \(\dfrac{1}{{E{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{E^2}}} + \dfrac{1}{{E{F^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {2\sqrt 6 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} = \dfrac{5}{{48}} \Rightarrow EH = \dfrac{{4\sqrt {15} }}{5}.\)
Vậy \(d\left( {SA;CD} \right) = \dfrac{{4\sqrt {15} }}{5}\) .
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Hà Huy Tập
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) là
-
Cho \(a;b\) là các số thực thỏa mãn \(a > 0\) và \(a \ne 1\) biết phương trình \({a^x} - \frac{1}{{{a^x}}} = 2\cos \left( {bx} \right)\) có 7 nghiệm thực phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình \({a^{2x}} - 2{a^x}\left( {{\mathop{\rm cosbx}\nolimits} + 2} \right) + 1 = 0\)
-
Cho tứ diện \(ABCD\), có \(AB = CD = 5\), khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) bằng \(12\), góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \({30^0}\). Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\) .
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên trong tập giá trị của hàm số \(y = \dfrac{{{{\sin }^2}x - 2\sin 2x + 1}}{{\cos 2x + 2\sin 2x - 3}}\)?
-
Trong khai triển \({\left( {1 + x + {x^2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\) có \(\dfrac{{{a_1}}}{2} = \dfrac{{{a_2}}}{{11}}\) thì giá trị của \(n\) là
-
Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2 - 2x}}{{x + 1}}\) là
-
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1.\) Giá trị của biểu thức \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}3}}\) bằng
-
Cắt khối cầu tâm \(I\), bán kính \(R = 5\) bởi một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách \(I\) một khoảng bằng \(4\), diện tích thiết diện là
-
Hình nón bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l\) thì có diện tích xung quanh bằng
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{x}{2} - \sqrt {{x^2} - x + m} \) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
-
Tìm hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) .
-
Khối lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m\) có ba điểm cực trị \(A,B,C\) sao cho \(O,A,B,C\) là các đỉnh của một hình thoi (với \(O\) là gốc tọa độ).
-
Nhà cung cấp dịch vị internet X áp dụng mức giá với dung lượng sử dụng của khách hàng theo hình thức bậc thang như sau: Mỗi bậc áp dụng cho \(64MB\), bậc 1 có giá \(100\) đ/1MB, giá của mỗi MB ở các bậc tiếp theo giảm \(10\% \) so với bậc trước đó. Tháng 12 năm 2018, bạn An sử dụng hết \(2GB\), hỏi bạn An phải trả bao nhiêu tiền (tính bằng đồng, làm tròn đến hàng đơn vị)?
-
Một người mau một căn hộ trị giá \(800\) triệu theo hình thức trả góp với lãi suất \(0,8\% \)/tháng. Lúc đầu người đó trả \(200\) triệu, số tiền còn lại mỗi tháng người đó trả cả gốc lẫn lãi \(20\) triệu. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ, biết rằng lãi suất chỉ tính trên số tiền còn nợ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
-
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \cos 2x + mx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
-
Khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \(2\sqrt 3 a\), cạnh bên bằng \(3\sqrt 3 a\) có thể tích bằng
-
Một quân Vua ở giữa một bàn cờ vua (như hình vẽ) di chuyển ngẫu nhiên \(3\) bước, tìm xác suất để sau \(3\) bước nó trở lại vị trí xuất phát (mỗi bước đi, quân Vua chỉ có thể đi sang ô chung đỉnh hoặc ô chung cạnh với ô nó đang đứng).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( x \right) = m\) (\(m\) là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( { - 2;6} \right)\)?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = {x^3} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm điểm có hoành độ dương trên đường thẳng \(d:y = x + 1\) mà qua đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới \(\left( C \right).\)
