Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60o. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. Tính theo a thể tích khối chóp S.DBC
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi O là tâm của tam giác đều ABC, I là trung điểm của AB
\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\,\, \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SAO} = 60^\circ \)
\(\Delta ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\)
\(\Delta SAO\) vuông tại O \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = OA.\tan 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\\SA = \dfrac{{OA}}{{\cos 60^\circ }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
\(\Delta SAB\) cân tại S \( \Rightarrow SI \bot AB\); \(\left( {BCD} \right) \bot SA\,\, \Rightarrow BD \bot SA\)
\(\Delta SAI\) đồng dạng \(\Delta BAD\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AD}} \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{AD}} \Rightarrow AD = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.a}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{SA}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{5}{8}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow {V_{S.DBC}} = \dfrac{5}{8}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{5}{8}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).
Chọn: C
Câu hỏi liên quan
-
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{1 + 3x}}{{\sqrt {2{x^2} + 3} }}\)
-
Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó, giá trị của \(M.m\) là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Khẳng định nào dưới đây sai?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm \(f'(x)\) trên R. Đồ thị hình bên là của hàm số \(y = f'(x)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
.JPG)
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC =2. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} \):
-
Hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} + 6\) có bao nhiêu điểm cực đại ?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) liên tục trên R. Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.JPG)
-
Hệ số của số hạng chứa \({x^7}\)trong khai triển nhị thức \({\left( {x - \dfrac{2}{{x\sqrt x }}} \right)^{12}}\)(với \(x > 0\)) là:
-
Cho hàm số \(y = f(x)\)có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số \(y = f(x)\)có bao nhiêu điểm cực tiểu?
.JPG)
-
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(a\). Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9{a^2}\) là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là:
-
Cho hàm số \(y = f(x)\), biết rằng hàm số \(y = f'(x - 2) + 2\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.JPG)
-
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 8x + 1} + 2x} \right)\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x - 2 = 0\) là:
-
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2cm bằng:
-
Cho hình chữ nhật \(MNPQ.\) Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {MN} \) biến điểm \(Q\) thành điểm nào?
-
Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{2018}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\).
-
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M(1;3) là trung điểm của cạnh BC, \(N\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) là điểm trên cạnh AC sao cho \(AN = \dfrac{1}{4}AC\) . Xác định tọa độ điểm D, biết D nằm trên đường thẳng \(x - y - 3 = 0\)
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).
-
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho các điểm \(A\left( {1;\,2} \right),\,B\left( {3;\, - 1} \right),\,C\left( {0;\,1} \right)\). Tọa độ của véctơ \(\overrightarrow {u\,} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \) là:
