Cho dãy số (\({u_n}\)) xác định bởi \({u_1} = 1\) ;\({u_{n + 1}} = \dfrac{3}{2}\left( {{u_n} - \dfrac{{n + 4}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right)\) . Tìm \({u_{50}}\) ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo đề bài, ta có:
\({u_{n + 1}} = \dfrac{3}{2}\left( {{u_n} - \dfrac{{n + 4}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right) \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{3}{2}\left( {{u_n} - \dfrac{3}{{n + 1}} + \dfrac{2}{{n + 2}}} \right) \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - \dfrac{3}{{n + 2}} = \dfrac{3}{2}\left( {{u_n} - \dfrac{3}{{n + 1}}} \right)\)
Đặt \({v_n} = {u_n} - \dfrac{3}{{n + 1}}\). Khi đó, \({v_{n + 1}} = \dfrac{3}{2}{v_n},\,\,\forall n \ge 2\) và \({v_1} = {u_1} - \dfrac{3}{{1 + 1}} = 1 - \dfrac{3}{2} = - \dfrac{1}{2}\)
Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định như trên là dãy cấp số nhân, có số hạng đầu là \({v_1} = - \dfrac{1}{2}\) và công bội \(q = \dfrac{3}{2}\)
Khi đó, công thức tổng quát của dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_n} = - \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{n - 1}},\,\,n \ge 1\)
\( \Rightarrow \)Công thức tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {v_n} + \dfrac{3}{{n + 1}} = - \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{n - 1}} + \dfrac{3}{{n + 1}}\)
\( \Rightarrow {u_{50}} = - \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{49}} + \dfrac{3}{{51}} = - 212540500\).
Chọn: B