Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SB \bot \left( {ABCD} \right),\,\,\,SB = a\) và \(BC = a\sqrt 3 .\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(AB\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(AB//CD,\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)\,\, \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)\,\)
\(\, \Rightarrow d\left( {AB;SD} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)\)
Dựng \(BH \bot SC,\,\,H \in SC\) (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BC\\CD \bot SB\,\,\left( {do\,\,SB \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\,\,\)
\( \Rightarrow CD \bot \left( {SBC} \right)\,\, \Rightarrow CD \bot BH\) (2)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow BH \bot \left( {SCD} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = BH\,\,\, \Rightarrow d\left( {AB;SD} \right) = BH\)
Tam giác SBC vuông tại B, \(BH \bot SC\,\,\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow BH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy, \(d\left( {AB;SD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn: C