Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a;CD = a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của AD. Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiABCD là hình thang vuông
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {DC + AB} \right).AD = \dfrac{1}{2}.\left( {a + 2a} \right).2a = 3{a^2}\)
Kẻ IH vuông góc BC, (\(H \in BC\))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SIB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SIC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SIB} \right) \cap \left( {SIC} \right) = SI\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow SI \bot BC\), mà \(IH \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SHI} \right)\)
\(\begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\,\,\\ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SH;IH}} \right) = \widehat {SHI} = 60^\circ \end{array}\)
*) Tính IH:
Ta có: \({S_{ABCD}} = 3{a^2}\), \({S_{\Delta ABI}} = {a^2},\,\,{S_{\Delta IDC}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta IBC}} = 3{a^2} - {a^2} - \dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}\)
\(BC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \sqrt 5 a\)
\({S_{\Delta IBC}} = \dfrac{1}{2}.IH.BC \Rightarrow \dfrac{3}{2}{a^2} = \dfrac{1}{2}.IH.a\sqrt 5 \Rightarrow IH = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 5 }}\)
Tam giác SIH vuông tại I
\( \Rightarrow SI = \tan 60^\circ .IH = \sqrt 3 .\dfrac{{3a}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{3a\sqrt {15} }}{5}\)
*) Thể tích khối chóp S.ABCD:
\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a\sqrt {15} }}{5}.3{a^2} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}\)
Chọn: C
Câu hỏi liên quan
-
Cho phương trình \(\sin 2x - \sin x - 2m\cos x + m = 0,\) \(m\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right]\) là:
-
Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó, giá trị của \(M.m\) là:
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\), chọn mệnh đề đúng ?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(R\backslash {\rm{\{ 0\} }}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị ?
-
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2cm bằng:
-
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60o. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. Tính theo a thể tích khối chóp S.DBC
-
Tính số chỉnh hợp chập \(5\) của \(8\) phần tử.
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2mx + 1}}{{x - m}}\,\) với tham số \(m \ne 0\). Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây ?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{1 - x}}\) trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng:
-
Có 5 học sinh lớp 12A1, 3 học sinh lớp 12A2, 2 học sinh lớp 12D1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng dài. Tính xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
-
Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) liên tục trên R. Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.JPG)
-
Đồ thị sau đây là của hàm số\(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\). Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\)có ba nghiệm phân biệt ?
.JPG)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với đáy, mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) hợp với đáy một góc bằng \(60^\circ \), \(M\) là trung điểm của \(BC\). Biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = f(x)\), biết rằng hàm số \(y = f'(x - 2) + 2\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.JPG)
-
Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\) có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
-
Hệ số của số hạng chứa \({x^7}\)trong khai triển nhị thức \({\left( {x - \dfrac{2}{{x\sqrt x }}} \right)^{12}}\)(với \(x > 0\)) là:
-
Trong mặt phẳng Oxy ,cho A(3;-10), B(-5;4). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là :
-
Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},\) hàm số \(y = f'(x - 2)\) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(y = f(x)\) là
.JPG)
-
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x\) trên tập hợp \(D = \left[ { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{3}} \right]\)
