Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{2018}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiSố hạng tổng quát:
\(\dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}C_n^k = \dfrac{1}{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}C_n^k = \dfrac{1}{{k + 2}}\dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \dfrac{1}{{n + 1}}\dfrac{1}{{k + 2}}C_{n + 1}^{k + 1} = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}C_{n + 2}^{k + 2}\)
Như vậy \(S = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {C_{n + 2}^2 + C_{n + 2}^3 + C_{n + 2}^4 + ... + C_{n + 2}^{n + 2}} \right)\)
\(S = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {{2^{n + 2}} - C_{n + 2}^0 - C_{n + 2}^1} \right) = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {{2^{n + 2}} - n - 3} \right)\)
Phương trình đã cho tương đương \(\dfrac{{{2^{n + 2}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{2018}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \Leftrightarrow n + 2 = 2018 \Leftrightarrow n = 2016\).
Chọn: D