Trắc nghiệm Hàm số mũ. Hàm số lôgarit Toán Lớp 12

Câu 1:

Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn \(\log _{2}\left(\frac{x+1}{2}\right)+x=4^{\sin ^{4} y+\cos ^{4} y}-\sin ^{2} 2 y\)

Câu 2:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \(x, y \in[3 ; 48] \text { và }(x-2) \sqrt{y+2}=\sqrt{y+1} \sqrt{x^{2}-4 x+5}\)

Câu 3:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \(\leq y \leq 100\) và \(x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)

Câu 4:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2018 để phương trình \(\log _{2}\left(m+\sqrt{m+2^{x}}\right)=2 x\) có nghiệm thực? 

Câu 5:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \(\text { n } 0 \leq x \leq 2020 \text { và } 3^{x+1}+x+1=3^{y}+y\)

Câu 6:

Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn \(2.2^{x}+x+\sin ^{2} y=2^{\cos ^{2} y} \text { . }\)

Câu 7:

Có bao cặp số nguyên (x;y)  thỏa mãn\(x, y \in[5 ; 37]\) và \(\sqrt{x}=y^{2}+2 y-x+2+\sqrt{y^{2}+2 y+2} .\)

Câu 8:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y )thỏa mãn  \(1 \leq x \leq 2020 \text { và } x+x^{2}-9^{y}=3^{y} .\)

Câu 9:

Với các số thực dương x, y, z đôi một phân biệt thỏa mãn \(x, y, z \neq 1 \text { và } x y z=1\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\log _{x} \frac{y}{z}+\log _{y} \frac{z}{x}+\log _{z} \frac{x}{y}+2\left(\log _{\frac{x}{y}} z+\log _{\frac{y}{z}} x+\log _{\frac{z}{x}} y\right)\)

Câu 10:

Cho hai số thực dương a, b  nhỏ hơn 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right)+\log _{b}(a b)\)

Câu 11:

Cho các số thực dương x, y, z bất kì thoả mãn xyz = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{\log ^{2} x+1}+\sqrt{\log ^{2} y+4}+\sqrt{\log ^{2} z+4}\)

Câu 12:

Cho các số thực \(a, b, c \geq 1 \text { thỏa mãn } a+b+c=5 \text { . }\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\log _{3} a+2 \log _{9} b+3 \log _{27} c\)

Câu 13:

Cho các số thực a>1>b>0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{a^{2}}\left(a^{2} b\right)+\log _{\sqrt{b}} a^{3}\)

Câu 14:

Cho hai số thực a b , thay đổi thoả mãn a>b>1. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\left(\log _{a} b^{2}\right)^{2}+6\left(\log _{\frac{\sqrt{b}}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^{2} \text { là } m+\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{p} \text { với } m, n, p\) là các số nguyên. 
\(\text { Tính } T=m+n+p \text { . }\)

Câu 15:

Cho hai số thực a b , thay đổi thỏa mãn \(\frac{1}{3}<b<1\) . Biết biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{3 b-1}{4 a^{3}}\right)+12 \log _{\frac{b}{a}}^{2} a\) đạt
giá trị nhỏ nhất bằng M khi \(a=b^{m} . \text { Tính } T=M+m\)

Câu 16:

Cho hai số thực a b , lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\log _{a}\left(\frac{a^{2}+4 b^{2}}{4}\right)+\frac{1}{4 \log _{a b} b}\)

Câu 17:

Cho các số thực \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\)

thuộc khoảng \(\left(\frac{1}{4} ; 1\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\log _{x_{1}}\left(x_{2}-\frac{1}{4}\right)+\log _{x_{2}}\left(x_{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\log _{x_{n}}\left(x_{1}-\frac{1}{4}\right) .\)

Câu 18:

Cho các số nguyên dương a b , thỏa mãn b < 4 . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{4^{a} b^{2 a}}{\left(4^{a}-b^{a}\right)^{3}}+\frac{7.4^{a-2}}{b^{a}} \text { là } \frac{m}{n}\)với m, n là các số nguyên dương và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. \(\text { Tính } S=m+n\)

Câu 19:

Cho hai số thực a b , thay đổi thỏa mãn a>b> 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+3 \log _{b}\left(\frac{b}{a}\right)\)

Câu 20:

Cho hai số thực dương x y , thay đổi thõa mãn \(x^{2}-4 y^{2}=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{2}(x+2 y) \cdot \log _{2}(2 x-4 y)\)

Câu 21:

Cho các số thức \(x, y, z \in[1 ; 2],\) , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=3^{x}+3^{y}+3^{z}-\frac{3}{5}(x+y+z)^{2} .\)

Câu 22:

Cho các số thực dương a , b thỏa mãn \(\ln \left(a^{2}+b^{2}\right) \geq a^{2}+b^{2}-1\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{2}(a+1)+\log _{2} b\)

Câu 23:

Cho a , b , c , d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left(1+a^{2}+b^{2}+a^{2} b^{2}\right)\left(1+c^{2}+d^{2}+c^{2} d^{2}\right)\)

Câu 24:

Cho hai số thực , phân biệt thỏa mãn \(x, y \in(0 ; 2018)\)

. Đặt \(S=\frac{1}{y-x}\left(\ln \frac{y}{2018-y}-\ln \frac{x}{2018-x}\right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 25:

Cho hàm số \(f(t)=\frac{4^{t}}{4^{t}+m}\)(với m > 0 là tham số thực ). Biết \(f(x)+f(y)=1\) với mọi số thực dương x, y thỏa mãn \((x+y)^{\frac{1}{2}} \geq \frac{1}{2} \cdot(x+y)+\frac{1}{2}\) . Tìm GTNN của hàm số f (t) trên đoạn \(\left[\frac{1}{2} ; 1\right]\)

Câu 26:

Xét hai số thực số thực a, b thay đổi thỏa mãn b>a> 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{a}^{3}\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)+\log _{\sqrt[3]{b^{2}}}\left(\frac{b}{a}\right)\)

Câu 27:

Cho hai số thực số thực a, b thỏa mãn \(a \geq b>1\). Biết rằng \(P=\frac{1}{\log _{a b} a}+\sqrt{\log _{a} \frac{a}{b}}\) đạt giá trị lớn
nhất khi có số thực k sao cho \(b=a^{k}\) . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Câu 28:

Cho hai số thực a>1;b>1. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\frac{1}{\log _{a b} a}+\frac{1}{\log _{\sqrt[4]{a b}} b} \text { là } \frac{m}{n}\) với m, n là các số nguyên dương và \(\frac{m}{n}\) tối giản. Tính \(P=2 m+3 n\). 

Câu 29:

Cho hai số thực \(b>a>1 . \text { Tính } S=\log _{a} \sqrt[3]{a b}\) , khi biểu thức \(P=\frac{\log _{a} b}{\log _{a}^{2}\left(\frac{a}{b}\right)}+\log _{a} \sqrt{a b}\) đạt giá trị
nhỏ nhất 

Câu 30:

Cho hàm số \(f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+m^{2}}\)Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho \(f(a)+f(b)=1\) với mọi số thực a, b thỏa mãn \(e^{a+b} \leq e^{2}(a+b-1)\). Tính tích các phần tử của S 

Câu 31:

\(\text { Cho } a>1, b>1 \text { . Tính } S=\log _{a} \sqrt{a b}, \text { khi biểu thức } P=\log _{a}^{2} b+8 \log _{b} a\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 32:

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y=\ln \left(x^{2}+1\right)-m x+1\) đồng biến trên khoảng \((-\infty ;+\infty) \text { . }\)

Câu 33:

\(\text { Cho hàm số } f(x)=\ln 2019-\ln \left(\frac{x+2}{x}\right) \text { . Tính tổng } S=f^{\prime}(1)+f^{\prime}(3)+\ldots+f^{\prime}(2019) \text { . }\)

Câu 34:

Cho hàm số \(f(x)=\ln \left(\mathrm{e}^{x}+m\right)\). Có bao nhiêu số thực dương m để \(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)=1\) với mọi số thực a , b thỏa \(a+b=1\)

Câu 35:

Đạo hàm của hàm số  \(y=\frac{1}{5} e^{4 x} 1\)

Câu 36:

Cho hàm số \(f(x)=\ln \frac{2018 x}{x+1} \text { . Tính tổng } S=f^{\prime}(1)+f^{\prime}(2)+\ldots+f^{\prime}(2018) \text { . }\)

Câu 37:

Cho hàm số \(f(x)=\ln 2018+\ln \left(\frac{x}{x+1}\right) . \text { Tính } S=f^{\prime}(1)+f^{\prime}(2)+f^{\prime}(3)+\cdots+f^{\prime}(2017) .\)

Câu 38:

Đạo hàm của hàm số \(f(x)=\sqrt{\ln (\ln x)}\) là: 

Câu 39:

Đạo hàm của hàm số \(f(x)=\log _{2} \mid x^{2}-2 x|\) là

Câu 40:

Tập xác định của hàm số \(y=\log _{2020}\left(\log _{2019}\left(\log _{2018}\left(\log _{2017} x\right)\right)\right) \text { là } D=(a ;+\infty)\). Giá trị của a là:

Câu 41:

Tính đạo hàm của hàm số \(y=2^{x} \ln x-\frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}\)

Câu 42:

Cho hàm số \(y=\frac{1}{x+1+\ln x}\) \(\text { với } x>0 \text { . Khi đó }-\frac{y^{\prime}}{y^{2}} \text { bằng }\)

Câu 43:

Hàm số \(y=3^{x^{2}-3 x}\) có đạo hàm là 

Câu 44:

Hàm số \(y=2^{x^{2}-3 x+1}\) có đạo hàm là 

Câu 45:

Hàm số \(f(x)=\log _{2}\left(x^{2}-2 x\right)\) có đạo hàm 

Câu 46:

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{x+1}{4^{x}}+1\)

Câu 47:

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\log _{2}(2 x+1)+x\)

Câu 48:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\log \left(x^{2}-2 m x+4\right)-2x^2\) có tập xác định là  \(\mathbb{R}\)

Câu 49:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\log \left(x^{2}-4 x-m+1\right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)

Câu 50:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y=\ln \left(-x^{2}+m x+2 m+1\right)\) xác định với mọi \(x \in(1 ; 2) \text { . }\)