Cho hai số thực dương a, b nhỏ hơn 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right)+\log _{b}(a b)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \frac{4 a b}{a+4 b} \leq \frac{4 a b}{2 \sqrt{a .4 b}}=\sqrt{a b} \text { . Vì } 0<a<1 \text { nên } \log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right) \geq \log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1+\log _{a} b}{2} \text { . }\\ &\text { Khi đó: } P=\log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right)+\log _{b}(a b) \geq \frac{1+\log _{a} b}{2}+1+\log _{b} a \Rightarrow P \geq \frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2} \log _{a} b+\log _{b} a\right)\\ &\text { Suy ra } P \geq \frac{3}{2}+2 \sqrt{\frac{1}{2} \log _{a} b \cdot \log _{b} a}=\frac{3}{2}+\sqrt{2}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{2} \text { . }\\ &\text { Dấu "=" xảy ra khi: }\left\{\begin{array}{l} a=4 b \\ \frac{1}{2} \log _{a} b=\log _{b} a \end{array}\right. \text { . } \end{aligned}\)
