Có bao cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn\(x, y \in[5 ; 37]\) và \(\sqrt{x}=y^{2}+2 y-x+2+\sqrt{y^{2}+2 y+2} .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \sqrt{x}=y^{2}+2 y-x+2+\sqrt{y^{2}+2 y+2} \Leftrightarrow x+\sqrt{x}=y^{2}+2 y+2+\sqrt{y^{2}+2 y+2} \text { . (2) }\\ &\text { Xét hàm số } f(t)=t+\sqrt{t} \text { trên khoảng }(0 ;+\infty) \text { ta có: }\\ &f^{\prime}(t)=1+\frac{1}{2 \sqrt{t}}>0, \forall t>0 \Rightarrow f(t) \text { đồng biến trên }(0 ;+\infty) . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { (2) } \Leftrightarrow f(x)=f\left(y^{2}+2 y+2\right) \Leftrightarrow x=y^{2}+2 y+2 \text { . }\\ &\text { Do } x, y \in[5 ; 37] \text { nên } 5 \leq y^{2}+2 y+2 \leq 37 \Leftrightarrow 4 \leq(y+1)^{2} \leq 36 \Leftrightarrow 2 \leq y+1 \leq 6 \Leftrightarrow 1 \leq y \leq 5 \text { . } \end{aligned}\)
\(\text { Do } y \in \mathbb{Z} \text { và } y \in[5 ; 37] \text { nên } y=5 \text { , với mỗi giá trị } y \text { cho ta } 1 \text { giá trị } x=37 \in[5 ; 37] \text { thoả đề bài. }\)
Vậy có 1 cặp số nguyên ( x; y) thoả bài toán.
