Cho hai số thực a b , lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\log _{a}\left(\frac{a^{2}+4 b^{2}}{4}\right)+\frac{1}{4 \log _{a b} b}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { 4: Chọn B }\\ &\text { Ta có } S=\log _{a}\left(\frac{a^{2}+4 b^{2}}{4}\right)+\frac{1}{4 \log _{a} b} \geq \log _{a}(a b)+\frac{1}{4} \log _{b}(a b)\\ &=\frac{5}{4}+\log _{a} b+\frac{1}{4} \log _{b} a \geq \frac{5}{4}+2 \sqrt{\log _{a} b \cdot \frac{1}{4} \log _{b} a}=\frac{9}{4}\\ &\text { Dấu bằng xảy ra } \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { a ^ { 2 } = 4 b ^ { 2 } } \\ { \operatorname { l o g } _ { a } b = \frac { 1 } { 4 } \operatorname { l o g } _ { b } a } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=4 \\ b=2 \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)