Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn \(\log _{2}\left(\frac{x+1}{2}\right)+x=4^{\sin ^{4} y+\cos ^{4} y}-\sin ^{2} 2 y\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \log _{2}\left(\frac{x+1}{2}\right)+x=4^{\sin ^{4} y+\cos ^{4} y}-\sin ^{2} 2 y \Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x-1=4^{\sin ^{4} y+\cos ^{4} y}-\sin ^{2} 2 y \\ &\Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x+1=2^{2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)}-4 \sin ^{2} y \cdot \cos ^{2} y+2 \\ &\Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x+1=2^{2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)}-4 \sin ^{2} y \cdot \cos ^{2} y+2\left(\sin ^{2} y+\cos ^{2} y\right)^{2} \\ &\Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x+1=2^{2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)}+2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)(2) \\ &\text { Xét hàm số } f(t)=2^{t}+t \Rightarrow f^{\prime}(t)=2^{t} \cdot \ln 2+1>0, \forall t>0 \text { . } \\ &\Rightarrow \text { hàm số } y=f(t) \text { đồng biến }(0 ;+\infty) \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Vì vậy }(2) \Leftrightarrow f\left(\log _{2}(x+1)\right)=f\left(2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)\right) \Leftrightarrow x+1=2^{2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)} \\ &\text { Ta có: } \sin ^{4} y+\cos ^{4} y=1-\frac{1}{2} \sin ^{2} 2 y \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right] \text { nên } 1 \leq 2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right) \leq 2 \\ &\Rightarrow 2 \leq x+1 \leq 4 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 3 . \text { Mà } x \text { là số nguyên dương } \Rightarrow x \in\{1,2,3\} \end{aligned}\)
Vậy có 3 giá trị x thỏa mãn
