Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2018 để phương trình \(\log _{2}\left(m+\sqrt{m+2^{x}}\right)=2 x\) có nghiệm thực?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Phương trình đã cho tương đương với phương trình : }\\ &m+\sqrt{m+2^{x}}=2^{2 x} \Leftrightarrow\left(m+2^{x}\right)+\sqrt{m+2^{x}}=2^{2 x}+2^{x}(1) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \sqrt{m+2^{x}} \geq 0,2^{x}>0 \text { . Xét hàm đặc trưng } f(t)=t^{2}+t \text { trên }[0 ;+\infty) \text { . }\\ &f^{\prime}(t)=2 t+1 \geq 0, \forall t \in[0 ;+\infty) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\Rightarrow f(t) \text { đồng biến trên khoảng }[0 ;+\infty) \text { do đó }(1) \Leftrightarrow f\left(\sqrt{m+2^{x}}\right)=f\left(2^{x}\right) \Leftrightarrow \sqrt{m+2^{x}}=2^{x}\\ &\Leftrightarrow m=2^{2 x}-2^{x} . \end{aligned}\)
\(\text { Đặt } a=2^{x}, a>0 . \text { Ta có } \Leftrightarrow m=g(a)=a^{2}-a \text { . }\)
Phương trình đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow m \geq-\frac{1}{4}\) mà m nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \(m \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 2017\}\).
Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
