Cho các số thực dương x, y, z bất kì thoả mãn xyz = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{\log ^{2} x+1}+\sqrt{\log ^{2} y+4}+\sqrt{\log ^{2} z+4}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Để ý } y, z \text { đối xứng; sử dụng bất đẳng thức }\\ &\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{m^{2}+n^{2}} \geq \sqrt{(a+m)^{2}+(b+n)^{2}} .\\ &\text { Ta có } P \geq \sqrt{\log ^{2} x+1}+\sqrt{(\log y+\log z)^{2}+(2+2)^{2}}\\ &=\sqrt{\log ^{2} x+1}+\sqrt{\log ^{2}(y z)+16}=\sqrt{\log ^{2} x+1}+\sqrt{\log ^{2}\left(\frac{10}{x}\right)+16}\\ &=\sqrt{\log ^{2} x+1}+\sqrt{(1-\log x)^{2}+16} \geq \sqrt{(\log x+1-\log x)^{2}+(1+4)^{2}}=\sqrt{26} .\\ &\text { Dấu bằng xảy ra } \Leftrightarrow \frac{\log x}{1-\log x}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \log x=\frac{1}{5} \Leftrightarrow x=\sqrt[5]{10}, y=z=\sqrt[5]{100} \text { . } \end{aligned}\)
