Xét các số phức \(z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(|z-4-3 i|=\sqrt{5}\). Tính \(P=a+b \text { khi }|z+1-3 i|+|z-1+i|\) đạt giá trị lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: }|z-4-3 i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow(a-4)^{2}+(b-3)^{2}=5 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=8 a+6 b-20\\ &\text { Đặt } A=|z+1-3 i|+|z-1+i| \text { ta có: }\\ &A=\sqrt{(a+1)^{2}+(b-3)^{2}}+\sqrt{(a-1)^{2}+(b+1)^{2}}\\ &A^{2} \leq\left(1^{2}+1^{2}\right)\left((a+1)^{2}+(b-3)^{2}+(a-1)^{2}+(b+1)^{2}\right)=2\left(2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4 b+12\right)\\ &=2(16 a+8 b-28)=8(4 a+2 b-7)(1) \end{aligned}\)
Mặt khác ta có
\(\begin{aligned} &4 a+2 b-7=4(a-4)+2(b-3)+15 \leq \sqrt{\left(4^{2}+2^{2}\right)\left((a-4)^{2}+(b-3)^{2}\right)}+15=25(2)\\ &\text { Từ (1) và (2) ta được: } A^{2} \leq 200\\ &\text { Đề } A_{\max }=10 \sqrt{2} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 4 a+2 b-7=25 \\ \frac{a-4}{4}=\frac{b-3}{2} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=6 \\ b=4 \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)
Vậy \(P=a+b=10\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong \(\mathbb{C}\) , phương trình \(z^{2}+3 i z+4=0\) có nghiệm là.
-
Cho số phức z thỏa mãn \(|z|=5 \quad \text { và } \quad|z+3|=|z+3-10 i|\). Tìm số phức \(w=z-4+3 i\)
-
Cho số phức \(z=a+b i \quad(a, b \in \mathbb{R}) \text { thỏa mãn } z+1+3 i-|z| i=0 \text { . }\) Tính \(S=a+3 b\)
-
Cho z thỏa \(z – 4 = \left( {1 + i} \right)\left| z \right| – \left( {4 + 3z} \right)i.\) Mệnh đề nào sau đây đúng ?
-
Tính giá trị của biểu thức \( P = {(1 + i\sqrt 3 )^2} + {(1 - i\sqrt 3 )^2}\)
-
Số phức \(z = \left( {2 – 3i} \right) – \left( { – 5 + i} \right)\) có phần ảo bằng
-
Cho số phức \(z=a+b i(\text { với } a, b \in \mathbb{R}) \text { thỏa }|z|(2+i)=z-1+i(2 z+3) . \text { Tinh } S=a+b\).
-
Cho i là đơn vị ảo. Giá trị của biểu thức \(z = (i^5 + i^4 + i^3 + i^2 + i + 1)^{20} \) là
-
Modun của số phức \(z=\sqrt3 -i\) bằng:
-
Tìm số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 2} \right| = \left| z \right|\) và \(\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z – i} \right)\) là số thực.
-
Số phức liên hợp của số phức (z = 3i + 2 ) là:
-
Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-2 z+5=0\). Giá trị của biểu thức \(z_{1}^{4}+z_{2}^{4}\) bằng.
-
Nếu hai số thực x,y thỏa mãn \(x\left( {3 + 2i} \right) + y\left( {1 – 4i} \right) = 1 + 24i\) thì x – y bằng?
-
Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn \(z-(2+3 i) \bar{z}=1-9 i\)
-
Giải phương trình: \( (5 - 7i) + \sqrt 3 x = (2 - 5i)(1 + 3i)\)
-
Cho số phức z = (2i - 1)2 - (3 + i)2. Tổng phần thực và phần ảo và phần ảo của z là
-
Cho hai điểm \(M\left( {2; – 1} \right)\) và \(N\left( {3;1} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) và \({z_2}\). Tìm phần thực a của số phức \(w = {z_1}.{z_2}\).
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Xét các số phức thỏa \(|z+3+4 i|=2\). Gọi \(z_{1}, z_{2}\) là hai số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất.Tổng phần thực của bằng \(z_{1}, z_{2}\)
-
Cho số phức z thỏa mãn: \(\overline z = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 – i}}\). Tìm môđun của \(\overline z + iz\).
