Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z + \overline z \) là số thuần ảo và \(\left| {z – 2i} \right| = 1\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt z = a + bi với \(a,b \in \mathbb{R}\) ta có : \(\left( {1 + i} \right)z + \overline z = \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + a – bi = 2a – b + ai\).
Mà \(\left( {1 + i} \right)z + \overline z \) là số thuần ảo nên \(2a – b = 0 \Leftrightarrow b = 2a\).
Mặt khác \(\left| {z – 2i} \right| = 1\) nên \({a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {2a – 2} \right)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 2\\a = \frac{3}{5} \Rightarrow b = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)
Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.