Cho số phức \(z=a+b i \quad(a, b \in \mathbb{R}) \text { thỏa mãn } z+2+i-|z|(1+i)=0 \text { và }|z|>1 \text { . }\)Tính \(P=a+b .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &z+2+i-|z|(1+i)=0 \Leftrightarrow(a+2)+(b+1) i=|z|+i|z|\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a+2=|z| \\ b+1=|z| \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a+2=\sqrt{a^{2}+b^{2}}(1) \\ b+1=\sqrt{a^{2}+b^{2}}(2) \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được \(a-b+1=0 \Leftrightarrow b=a+1\). Thay vào (1) ta được
\(a+2=\sqrt{a^{2}+(a+1)^{2}} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a+2>1 \quad(\text { do }|z|>1) \\ a^{2}-2 a-3=0 \end{array} \Leftrightarrow a=3\right. \text { . Suy ra } b=4\)
Do đó \(z=3+4 i \text { có }|z|=5>1 \text { (thỏa điều kiện }|z|>1) \text { . }\)
Vậy \(P=a+b=3+4=7\)
