Giải phương trình \({x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)} + \sqrt {{x^2} - 15} + \sqrt {x - 3} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 15 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge \sqrt {15} \\x \le - \sqrt {15} \end{array} \right.\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \sqrt {15} \)
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)} + \sqrt {{x^2} - 15} + \sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 34 = 2\sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)} + 2\sqrt {{x^2} - 15} + 2\sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 15 - 2\sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)} + x - 3 + {x^2} - 15 - 2\sqrt {{x^2} - 15} + 1 + x - 3 - 2\sqrt {x - 3} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15} - \sqrt {x - 3} } \right]^2} + {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15} - 1} \right]^2} + {\left[ {\sqrt {x - 3} - 1} \right]^2} = 0\end{array}\)
Ta thấy: \({\left[ {\sqrt {{x^2} - 15} - \sqrt {x - 3} } \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)
\({\left[ {\sqrt {{x^2} - 15} - 1} \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)
\({\left[ {\sqrt {x - 3} - 1} \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)
Vậy phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15} - \sqrt {x - 3} } \right]^2} = {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15} - 1} \right]^2} = {\left[ {\sqrt {x - 3} - 1} \right]^2} = 0\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 15} = \sqrt {x - 3} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 15 = x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\) (tmđk)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 4\)
Chọn A.
