Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCó x, y là các số thực dương \( \Rightarrow \frac{1}{x};\frac{1}{y}\) là các số thực dương
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}} = \frac{2}{{\sqrt {xy} }}\)
Vậy \(P \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }}.\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} = 2\sqrt {\frac{1}{{xy}} + xy} \)
Ta có : \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \) (do x, y là hai số thực dương) \( \Rightarrow xy \le \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{{xy}} + xy = \frac{1}{{16xy}} + xy + \frac{{15}}{{16}}.\frac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{16xy}}.xy} + \frac{{15}}{{16}}\frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 2.\frac{1}{4} + \frac{{15}}{4} = \frac{{17}}{4}\)
\( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {\frac{{17}}{4}} = \sqrt {17} \) . Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\\xy = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\sqrt {17} \) đạt được khi \(x = y = \frac{1}{2}.\)
Chọn C.
