Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{{3x + 2y}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{{3x + 2y}}\) .
\(Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{{3x + 2y}} = \frac{{2y + 3x}}{{xy}} + \frac{6}{{3x + 2y}} = \frac{{3x + 2y}}{6} + \frac{6}{{3x + 2y}}\)
Đặt \(t = 3x + 2y \Rightarrow t \ge 2\sqrt {3x.2y} \Leftrightarrow t \ge 2\sqrt {6.6} = 12\)
Theo bất đẳng thức AM-GM và vì \(t \ge 12\) nên ta có:
\(Q = \frac{t}{6} + \frac{6}{t} = \left( {\frac{t}{6} + \frac{{24}}{t}} \right) - \frac{{18}}{t} \ge 2\sqrt {\frac{t}{6}.\frac{{24}}{t}} - \frac{{18}}{{12}} = \frac{5}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2y}}{3}\\\frac{{2{y^2}}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2y}}{3}\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\;\;\left( {do\;\;y > 0} \right)\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \(\frac{5}{2}\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\).
Chọn D.
